11.1. На гладком горизонтальном столе лежит плашмя тонкий обруч массой М. По периметру обруча намотана легкая нерастяжимая нить, за свободный конец нити мы тянем с силой F, направленной по касательной к обручу. С каким ускорением движется конец нити, за который мы тянем?
Решение
Обруч будет скользить по столу, и при этом нить будет с него сматываться. В результате обруч будет совершать сложное движение, которое можно представить в виде суммы поступательного движения обруча как единого целого (при отсутствии вращения) и вращательного движения обруча вокруг своей оси (при неподвижном центре обруча). Так как нить нерастяжима, то искомое ускорение ее конца равно касательному (тангенциальному) ускорению точки обруча, в котором он касается нити. В соответствии с правилом сложения ускорений, это ускорение равно сумме ускорения, связанного с поступательным движением обруча, и касательной составляющей ускорения точек обруча, связанной с его вращательным движением: a = a пост + a вращ.
Так как обруч совершает поступательное движение под действием постоянной силы F, то a пост = F / M. Вследствие того, что обруч тонкий и все его элементы находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, касательная составляющая ускорения точек обруча также равна a вращ = F / M. Следовательно, искомое ускорение конца нити равно a нити = a = 2 F / M.
11.2. Шайба скользит по горизонтальной поверхности, сила трения пропорциональна квадрату скорости шайбы. Начальная скорость шайбы уменьшилась вдвое через время T после начала движения. За какое время скорость шайбы уменьшится еще в три раза? Указание: производная от функции 
может быть найдена по формуле 
.
Решение
Ускорение шайбы отрицательно, Δ V = – kV 2Δ t, или Δ V / V 2 = – k Δ t. Преобразуем выражения: Δ(1/ V) = Δ(kt). То есть при такой связи 1/ V (t) – kt = const. В начальный момент:
1/ V (0) – k ∙0 = 1/ V (0).
Через время T скорость уменьшилась вдвое:
1/ V (T) – k∙T = 1/ V (0), или 2/ V (0) – k∙T = 1/ V (0).
Отсюда следует:
k = 1/(V (0) T).
Через ещё некоторое время t скорость уменьшается ещё в 3 раза до величины V (0)/6, а разница величин будет такой же:
6/ V (0) – k ∙(T + t) = 1/ V (0),
6/ V (0) – [1/(T∙V (0))]∙(T + t) = 1/ V (0),
откуда
t = 4 T.
11.3. С одним молем идеального одноатомного газа проводят циклический процесс, состоящий из изотермического расширения в 9 раз, охлаждения в 3 раза при неизменном объеме и адиабатического сжатия до первоначального состояния (можете проверить – получается!). Найти термодинамический КПД η этого цикла. Указание: работа n молей идеального газа при изменении объема от значения V 1 до значения V 2 при постоянной температуре T может быть найдена при помощи формулы: 
.
Решение
Изобразим на pV -диаграмме этот циклический процесс: 1-2 – изотерма, 2-3 – изохора и 3-1 – адиабата. Для КПД имеем:
η = 
= 
.
Найдем подведенное к газу и отведенное от него количества теплоты. Теплота подводится на участке 1-2 (изотерма), отводится на участке 2-3 (изохора). Обозначим температуру на изотермическом участке через T. Тогда для n = 1 моля идеального одноатомного газа
Q + = RT ln(V 2/ V 1) = RT ln9,
Q – = C V (T 2 – T 3)= (3/2) R· (2 T /3) = RT,
и
η = 
≈ 0,54 = 54%.
11.4. На рисунке приведена схема включения обычного транзистора, напряжение батарейки ровно 6 В. Резисторы в цепи базы – по 100 кОм, в цепи эмиттера – 10 кОм. Потенциал вывода базы (относительно «минуса» батарейки) +2,7 В, потенциал эмиттера +2,1 В. Во сколько раз ток коллектора транзистора больше тока базы?
Решение
Обозначим напряжение (ЭДС) батарейки через E, сопротивления резисторов – через R 1 = R 2 = R базы, R 3 = R эм, потенциал базы – через U базы, потенциал эмиттера – через U эм (см. рис.).
Ток эмиттера равен I эм = U эм/ R эм = 0,21 мА.
Ток базы есть разница токов резисторов R 1 и R 2:
I б = (UR – U базы)/ R базы = (E – 2 U базы)/ R базы = 0,006 мА.
Ток эмиттера складывается (2-е правило Кирхгофа) из тока базы и тока коллектора, то есть ток коллектора равен
I к = I эм – I б = U эм/ R эм – (E – 2 U базы)/ R базы = 0,204 мА.
Искомое отношение токов коллектора и базы равно I к/ I б = 34.
11.5 Из 12 одинаковых тонких проволочек спаяли «кубик» – проволочки являются его ребрами. К максимально удаленным двум вершинам кубика К и М подключили источник, который обеспечивает протекание заданного тока во внешней цепи («источник тока»). Одна проволочка, подключенная к упомянутой вершине К кубика, создает в центре куба магнитное поле с величиной индукции В. Какую по величине индукцию магнитного поля создают в центре куба две проволочки, подключенные к вершине М?
Решение
Поскольку через проволочки вблизи вершин К и М течет одинаковый ток (см. рис.), и проволочки одинаковы, то векторы индукции магнитных полей, создаваемых этими проволочками, равны по модулю в центре кубика. Найдем угол между этими векторами. Отрезок OF и отрезок OG образуют угол 60º. Линии индукции направлены по нормали к этим отрезкам вдоль отрезков OQ и OW. Если рассмотреть треугольник OQW, то длины отрезков OQ и OW составляют 
от длины проволочки, а длина отрезка QW равна 
от длины проволочки. Воспользуемся теоремой косинусов и найдем угол между сторонами OQ и OW – он получается равным 120º. Поэтому легко вычислить искомое поле:
B общ = 
.
Решение – 2 вариант
Поскольку проволочки одинаковы, то через каждую из проволочек, подключенных к вершинам К и М, текут одинаковые токи. Следовательно, векторы индукции магнитных полей, создаваемых этими проволочками, равны по модулю в центре кубика. Вектор индукции, создаваемый каждой проволочкой, подключенной к вершине М, перпендикулярен самой этой проволочке и линии КМ, которая проходит через середину куба. Следовательно, векторы индукции всех трех проволочек, подключенных к вершине М, лежат в одной плоскости. В рассматриваемом случае имеет место симметрия относительно оси, проходящей через вершины кубика К и М – при повороте кубика вокруг оси КМ на 120° рассматриваемые проволочки, подключенные к вершине М, взаимно заменяют одна другую. Это означает, что одинаковые по модулю векторы индукции всех трех проволочек также образуют друг с другом углы по 120° и, складываясь вместе, создают нулевое поле в центре куба. Следовательно, суммарное поле, созданное двумя проволочками, компенсируется полем, созданным одной проволочкой. Таким образом, суммарная индукция магнитного поля двух проволочек, подключенных к вершине М, по модулю равна В.