На контрольную работу №2

студенту ________________ учебной группы

____________________________________________________________

(фамилия, имя и отчество)

Тема работы. Расчет на прочность вала.

Целевая установка. Из условия кручения определить диаметр выходного вала механизма и произвести его проверку на статическую и усталостную прочность.

Исходные данные (вариант №___________).

Схема нагружения вала приведена на рис. 4.1.

Вращающий момент М₁ = М₂ = 15 Н·м.

Окружная сила F_t = 300 Н.

Радиальная сила F_r = 100 Н.

Линейные размеры: ℓ₁ = 150 мм, ℓ₂ = 200 мм, ℓ₃ = 50 мм.

Материал вала сталь 45.

Допускаемое касательное напряжение при кручении [τ] = 25 Н/мм² (МПа).

Необходимые для расчета коэффициенты: запаса прочности и другие выбрать самостоятельно в соответствии с рекомендациями справочной литературы.

Основные вопросы, подлежащие разработке

1. Построение эпюр изгибающих и крутящих моментов по длине вала.

2. Определение диаметра вала из условия его работы только на кручение.

3. Определение эквивалентного момента.

4. Проверка вала на статическую прочность.

5. Проверка вала на усталостную прочность.

Методические указания

1. Пояснительная записка должна содержать: задание, содержание, введение, решение основных вопросов, заключение, литературу.

2. Пояснительную записку оформлять аккуратно в соответствии с методическими рекомендациями (см. раздел 7).

Рекомендуемая литература

1. Иосилевич Г.Б., Строганов Г.Б., Маслов Г.С. Прикладная механика. - М.: Высшая школа, 1990.

2. Павлов О.Ю, Смирнов А.В.Сопротивление материалов. Задания и методические рекомендации к контрольным работам. Лениногорск, 2015.

Дата выдачи..........................Срок сдачи...............

Руководитель................................................

Задание получил "...."............... 20…..г.

____________________________________________________________

(подпись студента)

 

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ИЗГИБАЮЩИХ И КРУТЯЩИХ

МОМЕНТОВ ПО ДЛИНЕ ВАЛА

 

1.1 Расчетная схема. Исходные данные

 

Расчетная схема вала и выбранная система отсчета представлены на

 

рис.1.1.

М₁= М₂ = 15 Н·м;

F_t = 300 Н;

F_r = 100 Н;

ℓ₁ = 150 мм;

ℓ₂ = 200 мм;

ℓ₃= 50 мм;

сталь 45;

[τ] = 25 Н/мм²

Рис.1.1 Расчетная схема вала

 

1.2 Определение реакций связей в опорах (реакций опор)

 

Вал подвергается изгибу и кручению одновременно.

В вертикальной плоскости YOZ действуют: радиальная сила и реакции в опорах и , которые определяются из уравнений равновесия:

1). , R_BY (ℓ₁ + ℓ₂) - F_rℓ₁ = 0,

откуда R_BY = = = 42,8 Н.

2). = 0, F_rℓ₂ – R_AY (ℓ₁+ ℓ₂) = 0,

R_AY = = = 57,2 H.

Проверка правильности определения реакций опор по уравнению равновесия сил:

, R_AY – F_r + F_BY = 0; 57,2 – 100 + 42,8 = 0.

Реакции опор определены верно:

R_AY = 57,2 H, R_BY = 42,8 H.

В горизонтальной плоскости XOZ действуют окружная сила и реакции в опорах и , которые также определяются из уравнений равновесия.

1). = 0, R_BX (ℓ₁ + ℓ₂) - F_tℓ₁ = 0,

R_BX = = = 128,6 H.

2). , F_tℓ₂ – R_AX(ℓ₁ + ℓ₂) = 0,

R_AX = = = 171,4 H.

Проверка правильности определения реакций опор:

; R_AX – F_t + R_BX = 0; 171,4 – 300 + 128,6 = 0.

Реакции опор определены верно: R_AX = 171,4; R_BX = 128,6 H.

 

1.3 Определение функций изгибающих моментов М_х(z)

и вычисление их значений

Изгибающий момент относительно оси Х возникает под действием , , и определяется методом сечений на каждом участке. В рассматриваемой задачи вал делится на три участка по границам приложения внешних сил, определяем функции М_х (z) и вычисляем их значения.

Участок 1. 0 ≤ z ≤ ℓ₁, М_х (z) = R_AY ·z - линейная функция (наклонная прямая).

z = 0, М_х (z) = 0;

z = ℓ₁ = 150 мм, М_х (z ) = 57,2 · 150 = 8580 Н·мм = 8,58 Н·м.

Участок 2. ℓ₁ ≤ z ≤ (ℓ₁+ ℓ₂), М_х (z)= R_AY·z - F_r(z - ℓ₁) - линейная функция (наклонная прямая).

z = ℓ₁, М_х (z) = R_AYℓ₁ = 57,2 ·150 = 8580 Н·мм = 8,58 Н·м;

z = ℓ₁+ℓ₂ = 350 мм,

М_х (z) = R_AY(ℓ₁+ ℓ₂) - F_r ℓ₂ = 57,2 (150+200) - 100·200=0.

Участок 3. (ℓ₁+ ℓ₂) ≤ z ≤ (ℓ₁+ ℓ₂+ ℓ₃)

М_х (z) = R_AYz - F_r(z - ℓ₁) + R_BY(z - ℓ₁ - ℓ₂);

z = ℓ₁ + ℓ₂ = 150 + 200 = 350 мм;

М_х (z) = 57,2 ∙350 – 100 (350 – 150) + 42,8 (350 – 150 – 200) = 0.

z = ℓ₁ + ℓ₂ + ℓ₃ = 150 + 200 + 50 = 400 мм.

М_х (z) = 57,2∙400 – 100(400-150) + 42,8(400 – 150 – 200) = 0.

Так как на этом участке в плоскости YOZ внешние силы не действуют, то изгибающий момент М_х = 0.

По полученным данным в масштабе изображается эпюра изгибающих моментов М_х (z) (рис.1.2)

 

1.4 Определение функций изгибающих моментов М_y (z)

и вычисление их значений

Изгибающий момент относительно оси Y возникает под действием , , . Для тех же участков определяем функции М_у (z) и вычисляем их значения.

Участок 1. 0 ≤ z ≤ ℓ₁, М_у (z) = R_AХ ∙ z – линейная функция (наклонная прямая);

z = 0, М_у (z) = 0;

z = ℓ₁ = 150 мм, М_у (z) = 171,4 ∙ 150 = 25710 Н∙мм = 25,7 Н∙м.

Участок 2. ℓ₁ ≤ z ≤ (ℓ₁ + ℓ₂), М_у (z) = R_AХ ∙ z – F_t (z - ℓ₁) - линейная функция (наклонная прямая).

z = ℓ₁ = 150 мм, М_у (z) = R_AХ∙ ℓ₁ = 171,4∙150 = 25710 Н∙мм = 25,7 Н∙м;

z = ℓ₁ + ℓ₂ = 350 мм,

М_у (z) = R_AХ (ℓ₁ + ℓ₂) - F_t∙ ℓ₂ = 171,4 (150+200) - 300∙200 = 0.

Участок 3. (ℓ₁ + ℓ₂) ≤ z ≤ (ℓ₁ + ℓ₂ + ℓ₃).

М_у (z) = R_AХ ∙ z – F_t (z - ℓ₁) + R_BX (z - ℓ₁ - ℓ₂),

z = ℓ₁ + ℓ₂ = 150 + 200 = 350 мм;

М_у (z) = 171,4 · 350 – 300 (350 – 150) + 128,6(350 – 150 –200) = 0;

z = ℓ₁ + ℓ₂ + ℓ₃ = 150 + 200 + 50 = 400 мм;

М_у (z) = 171,4·400 – 300(400 – 150) + 128,6(400-150-200) = 0.

На этом участке также внешние силы в плоскости ХОZ не действуют и изгибающий момент М_у = 0.

По полученным данным в масштабе изображается эпюра изгибающих моментов М_у (z).

 

1.5 Определение функций крутящих моментов М_Z (z)

и вычисление их значений

Функции крутящих моментов М_z (z) определяются также методом сечений на каждом участке по условию .

Участок 1. М_z = 0, т.к. на этом участке не действуют внешние вращающие моменты.

Участок 2. М_z = М₁= 15 Н·м.

Участок 3. М_z = М₁ = 15 Н·м.

На участках 2 и 3 возникает крутящий момент М_z = 15 Н·м, равный по величине вращающему моменту М₁ и противоположно ему направленный.

Эпюры изгибающих М_х (z), М_у (z) и крутящих М_z (z) моментов приведены на рис. 1.2.

Из эпюр следует, что опасным является сечение вала, проходящее через точку "С" приложения внешних нагрузок, в котором

М_{х max} = 8,58 Н·м; М_{у max} = 25,7 Н·м; М_z = 15 Н·м.

 

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИАМЕТРА ВАЛА ИЗ УСЛОВИЯ ЕГО РАБОТЫТОЛЬКО НА КРУЧЕНИЕ

Диаметр вала = = 14,4 мм.

Принимаем стандартное значение вала d = 15 мм [1 ], с.3.

 

3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОГО МОМЕНТА

Проверочный расчет вала на статическую прочность производится по эквивалентному моменту М_экв., который учитывает действие изгибающих и крутящих моментов.

М_экв = ,

где М_и = = = 27 Н·м – суммарный изгибающий момент.

Эквивалентный момент

М_экв = = = 30,9 Н·м

 

 

Рис. 1.2 Эпюры Mx (Z), My (Z), Mz (Z)

4 ПРОВЕРКА ВАЛА НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ

Проверочный расчет валов на статическую прочность производится по эквивалентному нормальному напряжению σ_экв. или по коэффициенту запаса прочности S_Т. Условие прочности соответственно записывается в виде:

σ_экв = ≤ [σ]; (4.1)

S_Т = ≥[ S_Т]. (4.2)

При расчете по формуле (4.1) величина σ_экв также умножается на коэффициент перегрузки К_П = 2…3, учитывающий кратковременное увеличение вращающего момента по сравнению с номинальным.

В рассматриваемом примере проверочный расчет производим по условию прочности: S_Т ≥[ S_Т], где [ S_Т] = 1,3…1,6 – допускаемый коэффициент запаса прочности по текучести;

S_Т – расчетный коэффициент запаса прочности по текучести

S_Т = ;

К_П = 2,5 – коэффициент перегрузки;

σ_Т – предел текучести, для стали 45 σ_Т = 650 Н/мм² (приложение 2).

Эквивалентное нормальное напряжение σ_экв. = ,

где W_и - осевой момент сопротивления для сплошного круга.

, мм³.

Тогда σ_экв = Н/мм²;

S_Т = = 2,8;

S_Т = 2,8 > [S_Т ] = 1,6.

Статическая прочность вала обеспечивается.

5 ПРОВЕРКА ВАЛА НА УСТАЛОСТНУЮ ПРОЧНОСТЬ

Условие прочности: S ≥ [S],

где S – расчетный коэффициент запаса прочности;

[S] = 1,3…2,1 – допускаемый коэффициент запаса прочности.

S = ,

где и - коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям.

; .

Амплитуда напряжений цикла:

; ,

- полярный момент сопротивления сечения вала, для сплошного круга

= мм³.

Пределы выносливости вала в рассматриваемом сечении

; ,

где , - пределы выносливости гладких образцов при симметричном цикле изгиба и кручения.

Для стали 45 = 380 Н/мм², Н/мм² (приложение 2);

, - коэффициенты концентрации напряжений для данного сечения вала.

= ; ,

где и - эффективные коэффициенты концентрации напряжений. Для шпоночного паза

= 2,15, = 2,05 [1] табл. 12.16, с.214;

- коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения, = 0,77 [ 1 ], табл.12.12, с.213;

- коэффициент влияния шероховатостей, = 1,15 [ 1 ], табл. 12.13, с.213;

- коэффициент влияния поверхностного упрочнения, = 1,4 [1],

табл. 12.14, с. 214.

Вычисления:

; ;

Н/мм²; Н/мм².

Н/мм²; Н/мм²;

 

; .

Расчетный коэффициент запаса прочности

.

S = 2,1 = [S] = 2,1, т.е. усталостная прочность вала из стали 45 обеспечивается при предельном значении коэффициента запаса прочности.

 

7 МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ОФОРМЛЕНИЮ ПОЯСНИТЕЛЬНОЙ ЗАПИСКИ

Пояснительная записка к контрольной работе выполняется на 12 - листовой тетради в рукописном виде с высотой букв и цифр не менее 2,5 мм или на стандартных листах формата А 4 (210х297) в рукописном или печатном виде, с соблюдением требований ЕСКД (ГОСТ 2.105-79 и 2.106-68). Цифры и буквы необходимо писать четко. Графическая часть работы выполняется на этих же листах с соблюдением масштаба.

Пояснительная записка к КР должна включать задание, содержание, введение, основной расчет, заключение, литературу.

Разделы могут разбиваться на подразделы, подразделы – на пункты, пункты – на подпункты.

Наименования разделов записывают в виде заголовков (симметрично тексту) прописными буквами шрифтом 7.

Наименования подразделов записывают в виде заголовков (с абзаца) строчными буквами (кроме первой прописной). Переносы слов в заголовках не допускаются. Точку в конце заголовка не ставят. Если заголовок состоит из двух предложений, их разделяют точкой. Каждый раздел рекомендуется начинать с нового листа.

Текст ПЗ к КР должен быть кратким, четким и не допускать различных толкований. При изложении обязательных требований в тексте должны применяться слова «должен», «следует», «необходимо» и производные от них.

В ПЗ должны применяться научно-технические термины, обозначения и определения, установленные соответствующими стандартами или общепринятые в научно-технической литературе.

В тексте документа не допускается применять сокращения слов, кроме установленных правилами орфографии или соответствующими стандартами, использовать в тексте математические знаки "+", "-", вместо знака следует писать "минус", "плюс", употреблять математические знаки без цифр (≥, ≤, ≠, №, %).

В формулах в качестве символов следует применять значения, установленные ГОСТами.

Все формулы, если их в документе более одной, нумеруют арабскими цифрами в пределах раздела. Номер формулы состоит из номера раздела и порядкового номера формулы, разделенных точкой. Номер указывают с правой стороны листа на уровне формулы в круглых скобках, например

, (1.1)

где - нормальное напряжение;

- ……… и т.д.

Ссылки в тексте на номер формулы дают в скобках. Например, "в формуле (1.1)".

Количество иллюстраций должно быть достаточным для пояснения излагаемого текста. Все иллюстрации, если их в документе больше одной, нумеруют в пределах раздела арабскими цифрами. Номер иллюстрации состоит из номера раздела и порядкового номера иллюстрации, разделенных точкой, например: рис. 1.1, рис. 1.2. Ссылки на иллюстрации дают по типу: "рис. 1.1" или "рис. 1.2". Ссылки на ранее упомянутые иллюстрации дают по типу: "см. рис. 3.2".

Пояснительной записке присваивается условное обозначение в виде:

КР. 02 15 000.000 ПЗ,

где КР – код документа, 02 – номер схемы нагружения балки, 15-вариант численных значений параметров задачи, 000.000 – свободные номера, ПЗ – шифр документа (пояснительная записка).

Образцы листов пояснительной записки представлены на рис. 7.1-7.7.