Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.
1. Эллипсоид.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением: 
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
(2)
Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.
1) Если 
> c (c>0), то 
и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует.
2) Если 
, то 
и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c) (плоскости 
касаются эллипсоида).
3) Если 
, то уравнения (2) можно представить в виде
откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями 
и 
. При уменьшении 
значения 
и 
увеличиваются и достигают своих наибольших значений при 
, т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой эллипс с полуосями 
и 
.
Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.
Однополосный гиперболоид.
Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения
и 
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
или 
(4)
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями 
и 
,
достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
(5)
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
и 
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями
или 
(6)
из которых следует, что при 
>c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями 
и 
. При увеличении 
величины a* и b* тоже увеличиваются.
При 
уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости 
касаются данной поверхности).
При 
уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.
Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.