Тема №4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Цель изучения:

усвоить учебные элементы на уровне знаний и умения применять их для решения различных статистических задач.

 

Учебные вопросы:

 

1. Генеральная совокупность. Выборка. Способы отбора.

2. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон частот и относительных частот.

3. Статистические оценки параметров распределения. Виды оценок параметров распределения. Смещенные и несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии.

 

Краткие сведения из теории

 

I. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.

Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, из которых производится выборка.

Число объектов (наблюдений) в совокупности, генеральной или выборочной, называется ее объемом.

Выборка бывает:

1) повторная;

2) бесповторная.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо представляет генеральную совокупность.

Способы отбора:

1) отбор, не требующий расчленения на части (простой случайный бесповторный отбор; простой случайный повторный отбор);

2) отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части (типический отбор; механический отбор; серийный отбор).

 

II. Статистическим распределением выборки называется перечень наблюдаемых значений (вариант) и соответствующих им частот или относительных часто:

			…
			…
			…

 

Число наблюдений называют частотами , а их отношение к объему выборки – относительными частотами .

Объемом выборки называется сумма всех частот:

.

Относительные частоты находим следующим образом:

,

причем сумма всех относительных часто равна единице:

.

Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Задача 4.1. Пусть в результате некоторого эксперимента получены следующие данные: 5, 2, 2, 1, 5, 3, 5, 3, 1, 1. Запишем для этих данных вариационный ряд, статистическое распределение выборки, т.е. выборку частот и относительных частот.

Решение. Составим вариационный ряд, для этого запишем все полученные данные в порядке возрастания вариант: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5. Общее число полученных данных равно 10, это означает, что объем выборки равен . Из эксперимента видно, что варианты повторяются определенное число раз: «1» встречается 3 раза, «2» – 2 раза, «3» – 2 раза и «5» – 3 раза, т.е. соответствующие вариантам частоты равны соответственно: , , и . Теперь найдем относительные частоты по формуле :

, , , .

Для наглядности представления данных и удобства расчетов в дальнейшем составляется таблица – статистическое распределение выборки:

	0,3	0,2	0,2	0,3

Делаем проверку: , . Расчеты сделаны верно.

Ответ. 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5 – вариационный ряд; статистический ряд:

	0,3	0,2	0,2	0,3

 

Эмпирической функцией распределения называется функция , определяющая для каждого значения относительную частоту события :

,

где – объем выборки, а – число наблюдений, меньших .

Эмпирическая функция распределения является аналогом функции распределения .

Задача 4.2. Выборка задана в виде распределения частот:

Построить эмпирическую функцию распределения.

Решение. Посчитаем объем выборки по формуле :

.

Проводя рассуждения, аналогичные задаче 3.45., и применяя формулу , получим следующие расчеты:

1) если , то ;

2) если , то ;

3) если , то ;

4) если , то ;

5) если , то .

Таким образом, искомая эмпирическая функция распределения будет иметь вид:

Построим график этой функции:

Ответ.

 

Статистическое распределение изображается для наглядности графически в виде так называемых полигона и гистограммы частот и относительных частот. Рассмотрим только полигон частот и полигон относительных частот.

Полигон частот (относительных частот) – ломанная, отрезки которой соединяют точки с координатами , , …, (, , …, ). Такая ломанная аналогична многоугольнику распределения (см. рис.3.1).

Рассмотрим на примере.

Задача 4.3. Выборка задана в виде распределения частот:

Построить полигон частот и полигон относительных частот.

Решение. Теперь в системе координат найдем точки с координатами (1; 8), (2;15), (3; 10) и (5; 7) и соединим их последовательно отрезками. Полученная ломанная и будет полигоном частот.

В задаче 4.2. был найден объем выборки: . По формуле найдем относительные частоты:

, , , .

Аналогично выше, в системе координат найдем точки с координатами (1; 0,2), (2; 0,375), (3; 0,25) и (5; 0,175) и соединим их последовательно отрезками. Полученная ломанная будет полигоном относительных частот.

Замечание. Изображения ломанных очень похожи, поэтому рекомендуется строить только оду из них.

III. Статистической оценкой неизвестного параметра распределения называют функцию от наблюдаемых значений случайной величины.

Оценки бывают:

1) смещенные и несмещенные;

2) эффективные и неэффективные;

3) состоятельные и несостоятельные.

Выборочной средней называется оценка математического ожидания, которая является несмещенной и вычисляется по формуле:

.

Выборочной дисперсией называется смещенная оценка дисперсии:

.

Выборочное среднее квадратическое отклонение определяется как:

.

В расчетах часто используется исправленная (несмещенная) дисперсия :

,

а также исправленное среднее квадратическое отклонение :

.

Задача 4.4. Выборка задана в виде распределения частот:

Найти смещенные и несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Решение. По формуле найдем объем выборки:

.

Для нахождения выборочной средней воспользуемся формулой :

.

Выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение находим по формулам и соответственно:

,

,

а исправленную дисперсию и среднее квадратическое отклонение соответственно по формулам и :

,

.

Ответ. ; ; ; ; .

Задание для самостоятельной работы

Задача 4.5. Выборка задана в виде распределения частот:

	-2

Найти: а) смещенные и несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения; б) эмпирическую функцию распределения и построить ее; в) построить полигон относительных частот.