Они работают ночами и по воскресеньям

Проценты не знают паузы.

и даже в дождливые дни.
Джош Биллингс

Высокотехнологичным комплексом национальной экономики принято называть совокупность отраслей, характеризующихся относительно высокой наукоемкостью производства. Но ни одно наукоёмкое производство невозможно без математики, а про­центы - одно из математических понятий, без которых экономика невозможна, и, кроме этого, они часто встречаются в повседневной жизни. В современном мире прожить без знаний процентов невозможно.

Задачи простейшего вида на проценты рассматриваются в курсе математики 5 класса, затем при изучении пропорции в 6 классе. В 7 классе задачи на проценты не изучаются. А в 8 классе, при изучении химии, предлагаются для решения задачи на смеси, сплавы, концентрацию, процентное содержание, и учащиеся испытывают затруднения! Получается, что на изучение темы «Проценты» в курсе математики отводится мало часов, но этот раздел является неотъемлемой частью при сдаче ОГЭ и ЕГЭ. К тому же 2015 году в задания ЕГЭ была добавлена экономическая задача на сложные проценты.

Главный «куратор» ЕГЭ по математике, директор Центра педагогического мастерства Иван Ященко в интервью газете «Московский комсомолец» 4 марта 2015 года сказал: «Примечательно, что использование на экзамене «банковской тематики» носит целенаправленный характер. В 2015 году в профильный ЕГЭ по математике обязательно включается задача практического содержания с экономическим смыслом — ситуация из жизни с нормальными числами».

В зависимости от способа начисления процентов на вложенный капитал различают простые и сложные проценты.

Можно вкладывать средства на несколько лет под определенный процент, при этом сумма накопленных процентов не изымается, а остается па счете инвестора, и на неё начисляются проценты. Однако условия вклада могут быть и иные. Инвестор каждый год забирает накопленные проценты, а проценты за следующий год начисляются только на первоначальную сумму.

При начислении простых процентов будущая стоимость определяется по формуле FV=PV(1+r·n), где FV – будущая стоимость, PV- настоящая стоимость, r – проценты, n – срок вложения.

Рассмотрим пример, когда на вложенные инвестиции доход начисляется по методу простых процентов. Вкладчик размещает 1 млн руб. на депозите сроком на пять лет под 10% годовых. После завершения срока сумма средств, которыми будет располагать инвестор, составит 1(1+ 0,1∙5) = 1,5 млн руб., из которых 1 млн руб.— это сумма первоначального взноса и 500 000 руб.

В основе метода сложных процентов лежит та же методика начисления ежегодных простых процентов, которые начисляются на первоначальный вклад и накопленную сумму. Будущую стоимость по методу сложных процентов рассчитывают по формуле FV=PV(1+r)ⁿ

Рассмотрим, как изменится сумма вклада в рассмотренном выше примере, если при начислении использовать метод сложных процентов. При размещении на банковском депозите суммы в размере 1 млн руб. сроком на пять лет под 10% годовых конечная сумма при исчислении методом сложных процентов составит FV= 1 000 000 (1 + 0,1)⁵= 1 610 510 руб.

Полученная сумма на 110 510 руб. больше, чем сумма, полученная при начислении простых процентов.

Решение задач практического применения, содержащих проценты:

А) Алгоритм решения задач на сплавы и концентрацию:

1. Изучить условие задачи. Выбрать неизвестные величины, относительно которых мы будем составлять пропорции, создать математическую модель ситуации описанной в условии задачи;

2. Используя условие задачи, определить все взаимосвязи меду данными величинами;

3. Составить математическую модель задачи и решить её;

4. Изучить полученное решение и провести критический анализ результата.

Рассмотрим решения некоторых задач на концентрацию, сплавы и содержание сухого вещества

1. В сосуд, содержащий 10 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

РЕШЕНИЕ.

Всё решение основывается на заполнении таблицы, где за x берётся искомый её элемент.

Третий раствор – это раствор, получившийся в результате добавления к первому раствору второго. Его объём находится по формуле: V₃=V₁+V₂.

Масса вещества находится по следующей формуле: m=V·n.

Масса вещества, растворённого в третьем растворе, находится по следующей формуле: m₃=m₁+m₂.

Следовательно, чтобы найти концентрацию вещества в третьем растворе, необходимо массу вещества разделить на объём раствора: x =n₃= =10.

Ответ: 10%

2. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

РЕШЕНИЕ.

Всё решение основывается на заполнении таблицы, где за x берётся искомый её элемент.

Третий сплав – это сплав, получившийся в результате добавления к первому сплаву второго. Его масса находится по формуле: M₃=M₁+M₂. Масса вещества находится по следующей формуле: m=M·n.

Масса вещества, находящегося в третьем сплаве, находится по следующей формуле: m₃=m₁+m₂. Следовательно:

0,1(2y+7)= 0,05y+0,14(y+7) |·100

20y+70=5y+14y+98

y=28

x = 2·28+7=63

Ответ: 63 кг.

3. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 64 килограммов изюма, если виноград содержит 82% воды, а изюм содержит 19% воды?

РЕШЕНИЕ.

Всё решение основывается на заполнении таблицы, где за x берётся искомый её элемент.

Концентрация сухого вещества вычисляется по следующей формуле: n₂=100%-n₁.

Масса сухого вещества вычисляется по следующей формуле: m=M·n.

Так как и в винограде, и в полученном из него изюме масса сухого вещества неизменна, то:

0,18x=51,84

x =288

Ответ: 288 кг.

4. Смешав 24-процентный и 67-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 41-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты,
то получили бы 45-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов
24-процентного раствора использовали для получения смеси?

РЕШЕНИЕ.

Всё решение основывается на заполнении таблицы, где за x берётся искомый её элемент.

Четвёртый раствор – это раствор, получившийся в результате добавления к первому и второму растворам третьего. Его объём находится по формуле: V₄=V₁+V₂+V₃.

Шестой раствор – это раствор, получившийся в результате добавления к первому и второму растворам пятого. Его объём находится по формуле: V₆=V₁+V₂+V₅.

Масса вещества находится по следующей формуле: m=V·n.

Масса вещества, растворённого в четвёртом растворе, находится по следующей формуле: m₄=m₁+m₂+m₃.

Масса вещества, растворённого в шестом растворе, находится по следующей формуле: m₆=m₁+m₂+m₅.

Следовательно, у нас получилась следующая система уравнений:

Согласно способу сложения в системе уравнений:

51,6-0,86x=0

0,86x=51,6

x =60

Ответ: 60 кг.