Вопросы к экзамену по математическому анализу (второй семестр)
1. Интегральная сумма Римана. Понятие определенного интеграла. Пример неинтегрируемой функции на отрезке (с доказательством неинтегрируемости).
2. Необходимое условие интегрируемости. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Найти интеграл 
3. Интеграл с переменным верхним пределом. Связь определенного и неопределенного интегралов. Найти производную функции 
4. Доказательство формулы Ньютона-Лейбница.
5. Замена переменных в определенном интеграле. Найти интеграл 
(
- целая часть числа 
).
6. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Найти интеграл 
7. Полярные координаты. Нарисовать область внутри кривой, заданной в полярных координатах 
Вычислить площадь полученной фигуры.
8. Неопределенный интеграл первого рода. Вычислить интеграл 
9. Неопределенный интеграл второго рода. Вычислить интеграл 
10. 
мерное евклидово пространство. Расстояние между точками в нем. 
окрестность. Определение предела точек. Доказать лемму о покоординатной сходимости.
11. Предел функции нескольких переменных. Определения бесконечных пределов. Найти предел функции 
при 
или доказать, что он не существует.
12. Непрерывность функции нескольких переменных в точке по Коши и по Гейне. Привести примеры разрывной функции в точке, бесконечно большой и бесконечно малой функции в точке.
13. Определение частной производной первого порядка и дифференцируемости функции в точке. Доказать, что функция 
дифференцируема в любой точке 
14. Определение дифференциала функции нескольких переменных в точке. Касательная плоскость для функции, заданной явно. К поверхности 
написать уравнение касательной плоскости в точке М 
15. Вывести уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности 
, если вектор нормали образует тупой угол с осью 
16. Определение первых частных производных сложной функции 
Найти частные производные первого порядка для функции 
17. Вывод формулы для производной по направлению.
18. Определение градиента. Найти 
если 
, по направлению вектора, направляющие косинусы которого равны: 
19. Дифференциал второго порядка для функции трех переменных, определение точек локального экстремума, доказать теорему Ферма (необходимое условие точек локального экстремума).
20. Квадратичные формы. Критерий Сильвестра (без доказательства). Первое достаточное условие точек локального экстремума. Абсолютный экстремум в области. Правила его нахождения.
21. Теорема Вейерштрасса о достижении точных граней в области. Найти абсолютный максимум функции 
в области 
не используя функцию Лагранжа.
22. Определение условного экстремума. Правило его нахождения. Функция Лагранжа. Найти абсолютный максимум функции 
в области 
23. Определение числового ряда. Исследовать сходимость рядов 
24. Доказать необходимое условие сходимости числового ряда. Почему это условие не является достаточным?
25. Доказать расходимость обобщенного гармонического ряда 
26. Доказать первый признак сравнения числовых рядов с неотрицательными членами (в лекциях – теорема 2).
27. Доказать второй признак сравнения числовых рядов с неотрицательными членами (в лекциях – теорема 3).
28. Доказать третий признак сравнения числовых рядов с неотрицательными членами (в лекциях – теорема 4).
29. Доказать признак Даламбера сходимости числовых рядов.
30. Доказать признак Коши сходимости числовых рядов.
31. Доказать признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
32. Определение радиуса сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда 
Задачи к экзамену
Определенный интеграл
параметр),
где 
целая часть числа 
Найти экстремумы функции 
Вычислить площади фигур: а) 
б) 
в) 
Найти длины дуг плоских кривых: а) 
б) 
в) 
Вычислить предел 
Найти предел 
Показать, что 
Доказать неравенство 
Найти интегралы
, 
, 
, 
.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
Функции нескольких переменных
Найти экстремумы функций: 
1) 
2) 
,
3) 
Найти абсолютные экстремумы функции 
в области 
Найти экстремумы функции 
при условии 
Составить уравнение плоскости, перпендикулярной вектору 
, которая касается поверхности 
Найти направление и скорость наибольшего возрастания функции 
в точке Р(2.3.2).
Найти производную функции 
в точке (1.2.3) по направлению градиента функции 
в этой точке.
Найти производную функции 
в точке Р(1.1) по направлению вектора 
Ряды
Исследовать сходимость рядов
Найти область сходимости ряда 
Разложить функцию 
в степенной ряд и исследовать его сходимость.