Вариант курсовой работы №4
Тема: Применение методов теории массового обслуживания (ТМО) для анализа эффективности работы экономической информационной системы (ЭИС).
Цель работы.
Ознакомиться с основными методами теории массового обслуживания для расчетов параметров ЭИС.
Содержание работы.
2.1. Для заданной концептуальной модели вычислительной системы составить размеченный граф состояний вычислительного процесса, описывающий эту систему.
2.2. Для построенного графа состояний вычислительного процесса составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова – Чепмена.
2.3. Считая процесс, происходящий в системе, стационарным, перейти от систем дифференциальных уравнений в систему алгебраических уравнений.
2.4. Определить параметры вычислительного процесса и сделать выводы.
2.5. Составить отчёт.
Теоретические основы работы.
Для получения параметров, характеризующих эффективность процесса функционирования ЭИС, в настоящее время используются математические модели. Математический аппарат, применяемый при создании подобных моделей, определяется характером процессов, протекающих в системах. Математические модели, описывающие работу ЭИС, обычно различаются по следующим основным параметрам:
а) по количеству пользователей, посылающих заявки;
б) по количеству используемых узлов обработки информации;
в) по типу распределения входного потока программ;
г) по типу распределения времени обслуживания поступающих программ;
д) по используемой дисциплине обслуживания программ.
Работа ЭИС может быть описана при помощи марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем только в тех случаях, когда распределение входного потока программ аппроксимируется законом Пуассона, а распределение времени обслуживания поступающих программ является экспоненциальным.
Данный метод разработки математических моделей получил название метола Колмогорова – Чепмена/1/.
Рассмотрим применение метода Колмогорова – Чепмена для получения характеристик эффективности работы информационно – вычислительного комплекса в режиме оперативных расчетов. Комплекс включает в себя m однородных пользовательских терминалов без памяти; длительность активного состояния имеет экспоненциальное распределение с плотностью f(t) = λ exp(-λt), где 1/ λ - среднее время выполнения задания. Затраты на обработку прерываний не учитываются. Обслуживание заданий происходит одной ЭВМ и имеет экспоненциальное распределение с плотностью μ(t) = μ* exp(-μt), где 1/μ – среднее время обслуживания задания процессором ЭВМ. Концептуальная модель работы такой системы представлена на рис. 1.
Р
 | |||
 |
...
| |||
 |
|
|
|
|
|
I1 I2 Ik Im
 |
Рис 1. Концептуальная модель работы ЭИС.
Согласно методу Колмогорова - Чепмена, для описания марковского процесса с непрерывным временем необходимо:
1. Определить пространство состояний Е0, Е1, …,Еm.
Каждое из состояний графически представляется в виде вершины орграфа, внутри которой указывается обозначение состояния.
2. Соединить вершины дугами, описывающими возможные переходы случайного процесса из состояние в состояние за бесконечный малый промежуток времени Δt.
3. Разметить граф состояний, т. е. проставить над дугами, соединяющими состояния, интенсивности переходов.
4. Для исследования переходных процессов составить и решить систему дифференциальных уравнений, а для анализа стационарного режима систему алгебраических уравнений совместно с условием нормировки.
Правило составления системы дифференциальных уравнений заключается в следующем. Для каждого состояния составляется одно уравнение. В левой части уравнения записывается производная вероятности рассматриваемого состояния, а правая часть содержит алгебраическую сумму произведений интенсивности на вероятность того состояния, из которого исходит дуга. Знак плюс имеют те члены, которые соответствуют дугам, входящим в рассматриваемое состояние, а знак минус – члены, соответствующие дугам, исходящим из рассматриваемого состояния.
Для анализа стационарного режима производные полагаются равными нулю, и в результате получается система алгебраических уравнений, которая решается совместно с условием нормировки.
В качестве состояний вычислительной системы (см. Рис.1) рассмотрим следующие:
Е0 – все пользователи находятся в активном состоянии (формируют задания на обработку), процессор простаивает;
Е1 – один пользователь перешёл из активного состояния в пассивное, (m-1) – находится в активном состоянии, процессор занят выполнением поступающего задания;
Е2 – два пользователя находятся в пассивном состоянии, задание одного из них выполняется, а другого – находится в очереди;
..............
Еm – все m пользователей находится в пассивном состоянии.
На рис. 2 приведён размеченный граф состояний:
........
Рис. 2. Размеченный граф состояний.
Составим для каждого из состояний дифференциальное уравнение:
Е0 : 
= μP1(t) – mλ0p0(t);
Е1 : 
= mλp0(t) + μp0(t) - μp1(t) – (m-1)λp1(t);
.........
Еm: 
= λPm-1(t) – μpm(t),
где Pk(t) – вероятность того, что в момент времени t комплекс находится в состоянии Еk, k= 
. Кроме того имеет место условие нормировки:
P0 (t) + P1 (t) +... + Pm (t) = 1.
В стационарном режиме 
=0, k= и получаем систему алгебраических уравнений, которую решаем совместно с условием нормировки:
P0 + P1 +... + Pm = 1.
Вычислив закон распределения { Pk, k= } количества активных пользователей в системе, найдём:
- коэффициент простоя процессора γ, определив его как: γ = Р0;
- среднее число заданий пользователей, находящихся в системе:
;
- среднюю интенсивность формирования пользователями заданий:
;
- среднее время пребывания пользователя в пассивном состоянии, равное среднему времени требования задания в системе:
= 
;
- вероятность ненормативной ситуации, т.е. вероятность отказа задания определите как:
Ротк = Рm+1
Порядок выполнения работы.
4.1. Ознакомившись с теоретическими аспектами выполнения работы, написать программу, реализующую вычисление закона распределения вероятностей { Pk, k= } – числа активных пользователей вычислительной системы.
4.2. Определить параметры γ, 
, 
, - характеризующие количество работы системы.
4.3. Сделать выводы.
4.4. Оформить отчёт.
Содержание пояснительной записки по курсовой работе.
5.1. Наименование работы.
5.2. Цель работы.
5.3. Содержание работы.
5.4. Описание теоретических основ.
5.5. Результаты программной реализации.
5.6. Выводы.
5.7. Листинг программы.
Варианты заданий приведены в табл. 4.1.
Табл. 4.1
| № варианта | m | λ1 | λ2 | λ3 | λ4 | λ5 | λ6 | μ |
| 0,1 | 0,25 | 0,2 | 0,15 | 0,5 | ___ | 1/36 | ||
| 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | ___ | 1/60 | ||
| 0,15 | 0,15 | 0,3 | 0,3 | ___ | ___ | 1/180 | ||
| 0,18 | 0,28 | 0,35 | 0,5 | ___ | ___ | 1/360 | ||
| 0,20 | 0,20 | 0,25 | 0,45 | 0,55 | ___ | 1/720 | ||
| 0,15 | 0,20 | 0,35 | 0,25 | 0,4 | ___ | 1/60 | ||
| 0,2 | 0,3 | 0,25 | 0,68 | 0,68 | ___ | 1/180 | ||
| 0,25 | 0,45 | 0,25 | 0,5 | ___ | ___ | 1/720 | ||
| 0,35 | 0,35 | 0,75 | 0,6 | 0,1 | ___ | 1/720 | ||
| 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,35 | 0,35 | 0,45 | 1/180 | ||
| 0,5 | 0,5 | 0,5 | 0,5 | 0,12 | 0,1 | 1/60 | ||
| 0,28 | 0,15 | 0,45 | 0,68 | 0,1 | ___ | 1/720 | ||
| 0,22 | 0,12 | 0,06 | 0,25 | 0,49 | ___ | 1/820 | ||
| 0,15 | 0,45 | 0,65 | 0,1 | 0,42 | ___ | 1/360 | ||
| 0,24 | 0,14 | 0,88 | 0,12 | 0,33 | ___ | 1/720 |
Литература.
1. Кенит Д., Штоян Д. Методы теории массового обслуживания. М.: Радио и связь, 1981.-288с.
2. Герасимов А.И. Теория и применение стохастических сетей. М.: Радио и связь, 1994.-176с.