+ Основные теоремы о пределах.
1. Предел константы равен этой же константе;
2. Константный множитель можно вынести за предел;
3. Предел суммы функций равен сумме пределов функций;
4. Предел произведения функций равен произведению пределов функций;
5. Предел частного функций равен частному пределов функций;
6. Предел показательно-степенной функции равен пределу показателя в степени, равной пределу степени исходной функции.
++Виды неопределённостей. Вычисление неопределённостей.
++Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
+ Бесконечно малые функции. Бесконечно большие функции.
α(x) – бесконечно малая при x → x0, если предел равен 0.
Аналогично U(x) – бесконечно большая при x → x0, если предел равен бесконечности.
+ Выделение главной части бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Если α(x) и β(x) бесконечно малые при x → x0 и β(x) эквивалентна C(α(x))k, где C!= 0 и k – константы, то C(α(x))k – главная часть β(x), k – порядок β(x) относительно α(x).
· x0 – константа, β(x) эквивалентна C(x – x0)k
· x0 – бесконечность, β(x) эквивалентна C(1/x)k
Если U(x) и ψ(x) бесконечно большие при x → x0, а ψ(x) эквивалентна C(U(x))k, где C!= 0 и k – константы, то C(U(x))k – главная часть ψ(x), k – порядок ψ(x) относительно U(x).
· x0 – константа, ψ(x) эквивалентна C(1 / (x – x0))k
· x0 – бесконечность, ψ(x) эквивалентна C(x)k
Для выделения главной части бесконечно малых и бесконечно больших функций используют следующие теоремы:
1. Если предел функции f(x) равен С – константе, C принадлежит интервалу (0, inf), то f(x)α(x) эквивалентна Cα(x) при x → x0
2. Если α(x) эквивалентна α1(x) и β(x) эквивалентна β1(x) при x → x0, то:
a. α(x)β(x) эквивалентна α1(x)β1(x)
b. α(x) / β(x) эквивалентна α1(x) / β1(x)
3. Если α(x) эквивалентна β(x) и β(x) эквивалентна γ(x) при x → x0, то α(x) эквивалентна γ(x)
4. Сумма бесконечно малых функций разного порядка эквивалентна бесконечно малой функции меньшего порядка
5. Сумма бесконечно больших функций разного порядка эквивалентна бесконечно большой функции большего порядка
+ Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые.
Если нужно сравнить бесконечно малые и бесконечно большие функции, то нужно сравнить порядок этих функций.
+ Определение непрерывности функции одной переменной.
f(x) непрерывна в точке x0, если:
1. f(x) определена в точке x0;
2. Существуют конечные односторонние пределы в этой точке;
3. Эти пределы равны значению функции в точке x0.
+ Точки разрыва первого рода функции одной переменной.
Если односторонние пределы в точке не равны, то эта точка – точка разрыва 1-го рода, а величина δ, разница между пределами, называется скачком функции.
Если односторонние пределы в точке равны между собой, но не равны значению функции в точке, то эта точка – точка устранимого разрыва 1-го рода. Чтобы устранить разрыв, нужно переопределить или доопределить функцию в точке разрыва, т.е. ввести новую функцию.
+ Точки разрыва второго рода функции одной переменной.
Если односторонние пределы в точке не определены или равны бесконечности, то эта точка – точка разрыва второго рода.
+ Определение производной. Её физический смысл. Геометрический смысл производной.
Пусть:
· f(x) задана на (a; b) и x0 принадлежит (a; b)
· Δx – приращение аргумента в x0, Δ(x) принадлежит (a; b)
· Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) – приращение функции
Тогда f’(x0) = lim Δx → 0 (Δy / Δx)
Физический смысл производной: производная от расстояния по времени есть скорость.
Геометрический смысл производной: производная равна тангенсу угла между OX и касательной к функции в точке x0.
+ Дифференцируемая функция.
Если f(x), заданная на (a; b), имеет конечную производную в точке x0, принадлежащей (a; b), то она дифференцируема в этой точке.
+ Правила дифференцирования.
1. f(x) = const → f’(x) = 0
2. (f(x) ± g(x))’ = f’(x) ± g’(x)
3. (f(x) * g(x))’ = f’(x) * g(x) + f(x) * g’(x)
4. (cf(x))’ = cf’(x)
5. (f(x) / g(x))’ = (f’(x) * g(x) – f(x) * g’(x)) / g2(x)
++Производные основных элементарных функций.
± Дифференциал. Его свойства.
Дифференциал – это приращение графика касательной (понятность определения зашкаливает).
dy = f’(x) * dx
Свойства дифференциала (u и v – функции от x, c – константа):
1. d(u ± v) = du ± dv
2. d(uv) = udv + vdu
3. d(cu) = cdu
4. d(u/v) = (vdu - udv) / v2
++Производная сложной функции.
++Производная функций, заданных параметрически.
+ Дифференцирование функций, заданных неявно.
Пусть дан функционал F(x, y) = 0. Если y = f(x), то функция задана явно, и всё хорошо, в противном случае возьмём F’(x, y) и выразим y’ через всё остальное.
+ Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми.
Если f(x) дифференцируема в точке x0, то уравнение касательной в этой точке:
y = f’(x0) * (x – x0) + f(x0)
Углом между кривыми на плоскости в их общей точке называется наименьший из двух возможных углов между касательными к этим кривым в данной точке. Если уравнения касательных, проведенных к кривым и , соответственно и , то тангенс угла между кривыми определяется соотношением:
± Вычисление дифференциала. Приближённое вычисление с помощью дифференциала.
Приращение функции представимо в виде:
где функция является б.м. функцией при стремлении аргумента к нулю. Так как , то
В силу того, что второе слагаемое является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому
А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.
Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:
++Логарифмическое дифференцирование.
+ Производные высших порядков.
Пусть f(x) дифференцируема на (a; b). Тогда:
f(n)(x) = (f(n-1)(x))’, n – порядок производной.
+ Дифференциалы высших порядков.
Если существует дифференциал n-1-го порядка f(x), то дифференциал n-го порядка:
dnf(x, dx) = f(n)(x)(dx)n
+ Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Теорема Ролля.
Теорема Ферма: Пусть f(x) имеет на интервале D точку экстремума x0, причём D содержит некую окрестность x0 (т.е. D = (x0 – δ; x0 + δ)). Тогда f’(x0) = 0 либо f’(x0) не существует.
Теорема Ролля: Пусть f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и непрерывна в конечных точках a и b. f(a) = f(b) = 0. Тогда найдётся хотя бы одна точка x0 ∈ (a; b), где f’(x0) = 0.
Другими словами, между двумя корнями a и b дифференцируемой функции f(x) обязательно найдётся корень x0 её производной.
+ Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Лагранжа. Теорема Коши.
Теорема Лагранжа: Пусть f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и непрерывна в конечных точках a и b. Тогда на (a; b) найдётся точка x0 такая, что:
f’(x0) = (f(b) – f(a)) / (b - a) ↔ f(b) – f(a) = f’(x0) * (b - a) ↔ Δf = f’(x0) * Δx
Теорема Коши: Пусть x = φ(t), y = ψ(t), t∈ [α; β] – функция, заданная параметрически и дифференцируемая на на (α; β), причём φ’(x)!= 0 на t ∈ (α; β). Тогда найдётся t0∈ (α; β) такая, что:
(ψ(β) – ψ(α)) / (φ(β) – φ(α)) = ψ’(t) / φ’(t) – производная параметрически заданной функции.
++Правило Лопиталя, его приложение для раскрытия неопределённостей различного вида.
+ Монотонность функции. Признаки монотонности.
f(x) называется возрастающей (убывающей) на [a; b], если для ∀ x1, x2∈ [a; b], удовлетворяющих условию x1>x2, справедливо f(x1) >f(x2) (f(x1) <f(x2)).
Признак монотонности: Пусть f(x) дифференцируема на [a; b]. Тогда если f’(x) > 0 (f’(x) < 0) для ∀x ∈ [a; b], то f(x) возрастает (убывает) на [a; b].
++Исследование функций с помощью первой производной.
++Исследование функций с помощью второй производной.
+ Исследование функции без привлечения производных. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
· Вертикальные асимптоты: x = a, limx → a (f(x)) = inf
· Горизонтальные асимптоты: y = b, limx → inf (f(x)) = const
· Наклонные асимптоты: y = kx + b, k = limx → inf (f(x) / x), b = lim x → inf (f(x) - kx)
+ Схема построения графиков функций.
1. Найти ООФ
2. Чётность и периодичность
3. Корни и знаки функции
4. Исследование с помощью первой производной: монотонность, экстремумы
5. Исследование с помощью второй производной: выпуклость, перегибы
6. Асимптоты
7. График