Вопросы для подготовки к экзамену
По МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ для студентов II курса
Дневного отделения математического факультета
III семестр Сенкевич Т.Я.
Базовая часть экзамена
I. Понятийный блок.
1. Пространство ℝm, расстояние в пространстве ℝm.
2. Сходящиеся последовательности в ℝm.
3. Открытые и замкнутые множества в ℝm.
4. Компактные подмножества в ℝm.
5. Связные подмножества в ℝm.
6. Предел функции нескольких переменных в точке, на бесконечности.
7. Непрерывность функции нескольких переменных в точке, на множестве.
8. Частные производные функции m переменных.
9. Дифференцируемые функции m переменных.
10. Производная по направлению. Градиент.
11. Производные и дифференциалы высших порядков.
12. Экстремумы функции m переменных.
13. Понятие числового ряда и его суммы.
14. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
15. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
16. Понятие степенного ряда и его радиуса сходимости.
17. Ряд Тейлора.
18. Понятие интеграла, зависящего от параметра.
II. Фактический блок.
1. Лемма об эквивалентности покоординатной и поточечной сходимости, единственность предела, арифметические свойства сходимости последовательностей.
2. Свойства открытых и замкнутых множеств.
3. Арифметические свойства функций, имеющих предел в точке.
4. Локальные свойства непрерывных функций.
5. Глобальные свойства непрерывных функций (без доказательства).
6. Необходимые условия дифференцируемости.
7. Достаточное условие дифференцируемости.
8. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
9. Формула конечных приращений.
10. Теорема о совпадении смешанных производных.
11. Формула Тейлора для функций m переменных (без доказательства).
12. Необходимое условие существования локальных экстремумов для функции m переменных.
13. Достаточное условие существования локальных экстремумов функции m переменных (без доказательства).
14. Теорема о неявной функции для зависимости 
(без доказательства).
15. Метод неопределенных множителей Лагранжа: необходимое условие; достаточное условие (без доказательства).
16. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие.
17. Критерий сходимости знакоположительного ряда, признаки сравнения сходимости знакоположительных рядов.
18. Признаки сходимости Даламбера и Коши.
19. Признак сходимости Маклорена – Коши (интегральный признак).
20. Признак Лейбница для знакопеременных рядов.
21. Перестановка членов ряда: теоремы Дирихле и Римана (без доказательства).
22. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
23. Признак Абеля – Дирихле равномерной сходимости функционального ряда (без доказательства).
24. Теоремы об отыскании радиуса сходимости степенного ряда.
25. Свойства степенных рядов и их сумм.
26. Единственность представления функции степенным рядом.
27. Непрерывность собственного интеграла, зависящего от параметра.
28. Дифференцирование собственного интеграла, зависящего от параметра (без доказательства).
29. В – функция Эйлера. Её основные свойства (без доказательства).
30. Г – функция Эйлера. Её основные свойства (без доказательства).
III. Алгоритмический блок
1. Алгоритм отыскания точек экстремумов функции многих переменных.
2. Алгоритм отыскания точек условного экстремума функций многих переменных.
3. Алгоритм нахождения приближённого значения функции нескольких переменных.
4. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных на множестве.
5. Алгоритм отыскания промежутка сходимости степенного ряда.
6. Алгоритм отыскания суммы степенного ряда.
IV. Операционный блок
1. Вычисление пределов последовательности точек в пространстве ℝm.
2. Вычисление пределов функции m переменных в точке, на бесконечности.
3. Исследование функции на непрерывность.
4. Вычисление частных производных.
5. Вычисление частных производных сложных функций и функций, заданных неявно.
6. Нахождение дифференциалов функций, применение для приближённых вычислений.
7. Нахождение производных и дифференциалов высших порядков.
8. Нахождение уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности.
9. Замена переменных в выравниваниях, содержащих производные (в простейших случаях).
10. Отыскание суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
11. Применение признаков сравнения Даламбера и Коши для решения вопроса о сходимости или расходимости рядов.
12. Применение признака Лейбница.
13.Применение признака Вейерштрасса для доказательства равномерной сходимости функциональных рядов.
14. Отыскание промежутка сходимости степенного ряда.
15. Представление некоторых элементарных функций степенным рядом.
16. Применение Г и В – функций для вычисления интегралов.
ВОПРОСЫКО 2-ОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА
по МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ