1. Пусть 
Покажите, что функция 
непрерывна в квадрате 
в точке (0,0) имеет частные производные, но не дифференцируема в точке (0,0).
2. Пусть 
Проверьте, что имеет в 
ограниченные частные производные, но не дифференцируема в точке (0,0).
3. Покажите, что 
дифференцируема в точке (0,0), но ее частные производные разрывны в точке (0,0).
4. Пусть 
Покажите, что 
Какое условие теоремы о равенстве смешанных производных здесь нарушено?
5. На плоскости R2 с координатами 
соотношением 
где 
(R2,R), задана кривая. Пусть 
некритическая точка 
лежащая на кривой.
а) Запишите уравнение касательной к этой кривой в точке .
б) Покажите, что если (x0, y0) – точка перегиба, то в этой точке выполняется равенство:
.
6. Покажите, что функция 
имеет бесконечное множество максимумов и ни одного минимума.
7. Является ли достаточным для минимума функция f(x, y) в точке М (x0, y0), чтобы эта функция имела минимум вдоль каждой прямой, проходящей через
точку (x0, y0)? Рассмотрите пример 
.
8. Доказать, что касательные плоскости к поверхности 
образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема.
9. Найти значение первого дифференциала функции 
в точке 
на векторе смещения h=(0,5; 0,1).
10. Найти частные производные первого и второго порядка функции z = z(x, y), если
.
11. Найти du, dv, d 2u, d2v , если 
12. Найти dz, du, d2z, d2u , если 
13. Приняв у за новое независимое переменное, а х за функцию от у, преобразовать уравнение: 
.
14. Введя новые переменные, преобразовать уравнение:
.
15. Приняв и и v, за новые переменные, а w за новую функцию от и и v, преобразовать уравнение: 
.
16. Найти производную функции 
в точке М(2, 1, 2) по направлению градиента функции 
в этой точке.
17. Исследовать функцию 
.
18. Найти точки условного экстремума функции:
.
19. Через точку М, лежащую внутри данного угла провести прямую так, чтобы она отсекала от угла треугольник наименьшей площади.
20. Доказать, что если ряды 
сходятся, то сходятся также ряды:
а) 
б) 
, в) 
.
21. Исследовать сходимость ряда:
а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
,
д) 
, е) 
,
ж) 
.
22. Доказать сходимость ряда 
.
23. Исследовать последовательность 
на равномерную сходимость в промежутках: а) 
, б) 
.
24. Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда и исследовать поведение степенного ряда в граничных точках интервала сходимости:
а) 
, б) 
.
25. Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда и исследовать поведение степенного ряда в граничных точках интервала сходимости:
.
26. Доказать непосредственно сходимость ряда и найти его сумму:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
27. Разложив предварительно производные, путем почленного интегрирования получить разложение в степенной ряд функции 
.
Найти суму ряда 
.
28. Разложив предварительно производные, путем почленного интегрирования получить разложение в степенной ряд функции f(x)= arc sin x.
29. Доказать равномерную сходимость функционального ряда
.
30. Доказать равномерную сходимость функционального ряда
.
31. Исследовать на непрерывность функцию 
.
32. Написать разложение в степенной ряд относительно х функции cos2 x.
33. Написать разложение в степенной ряд относительно х функции:
а) 
, б) 
.
34. Вычислить сумму ряда 
.
35. Пользуясь формулой 
, вычислить интеграл
.
36. Исследовать интеграл 
на равномерную сходимость
в промежутке 
.
37. Исследовать на непрерывность функцию .
38. Вычислить интеграл:
а) 
; б) 
.
39. Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы: 
.
40. Исследовать на равномерную сходимость интеграл в промежутке:
а) 
; б) 
.
41. Вычислить интеграл: 
.
42. Вычислить сумму ряда: 
.
43. Определить область существования и выразить через эйлеровы интегралы интеграл
.
44. Применяя интегрирование под знаком интеграла, вычислить интеграл
.
45. Вычислить интеграл: 
.