Практическая работа № 20.
Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка.
1. Цель работы. Уметь находить интегралы тригонометрических функций. Применять универсальную подстановку
Литература.
1.Сборник задач по математике для техникумов. И.Л. Соловейчик, В.Т.Лисичкин. Москва «ОНИКС 21 век», «Мир и Образование» 2003г.
2.Практикум по высшей математике. Б.В.Соболь, Н.Т.Мишняков, В.М.Поркшеян. Ростов - на – Дону «Феникс» 2004г.
3.Конспект лекций по высшей математике. Д.Т.Письменный М. «АЙРИС ПРЕС» 2005г., ч.1.
4.Конспект лекций по высшей математике. Д.Т.Письменный М. «АЙРИС ПРЕС» 2005г., ч.2.
5.Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. М., "Высшая школа", 2003г.
6.Алгебра и начала анализа. Под ред. Г. Н. Яковлева. М., ”Наука“, 1987, ч. 1.
7. Алгебра и начала анализа. Под ред. Г. Н. Яковлева. М., ”Наука“, 1988, ч. 2.
8. Валуцэ И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов. М., "Наука", 1990
Подготовка к работе.
Повторить лекционный материал по темам: «Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Метод замены переменных. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Универсальная подстановка».
Задание.
4.1 Найти интегралы от тригонометрических функций.
Порядок выполнения работы.
4.1. Найти интегралы от рациональных дробей.
4.2 Найти интегралы от тригонометрических функций.
Порядок выполнения работы.
5.1 
| 
|
5.2 
| 
|
5.3 
| 
|
5.4 
| 
|
5.5 
| 
|
5.6 
| 
|
5.7 
| 
|
5.8 
| 
|
5.9 
| 
|
5.10 
| 
|
5.11 
|  
|
5.12 
| 
|
Содержание отчета.
6.1. Выполненное задание 5.1 (1 – 7) на нахождение интегралов от рациональных дробей в рабочей тетради.
7. Контрольные вопросы.(20)
7.1 Неопределенный интеграл, его свойства.
7.2 Таблица основных интегралов.
7.3 Метод замены переменных.
7.4 Интегрирование по частям.
7.5 Интегрирование рациональных функций.
7.6 Интегрирование тригонометрических функций
Приложение.
Интегрирование тригонометрических функций: универсальная тригонометрическая подстановка, три основные подстановки. Интегралы вида 
, 
Универсальная тригонометрическая подстановка
(1), где R – рац. функция относительно sin x и cos x.
Общий способ вычисления интеграла (1): универсальная тригонометрическая подстановка, которая приводит к результату, хотя иногда вычисления такого интеграла очень громоздки, на практике применяют более простые подстановки в зависимости от вида и свойств подынтегральной функции: 
(2)
Случаи:
1) Пусть функция R(cos x, sin x) – нечетные относительно sin x, т.е. R(cos x,-sin x)=-R(cos x, sin x), тогда используется подстановка cos x = t
2) Пусть функция R(cos x, sin x) – нечетная относительно cos x, R(-cos x, sin x)=-R(cos x, sin x), тогда используется подстановка sin x=t
3) Функция R(cos x, sin x) – четная, относительно cos x, sin x, т.е. R(-cos x, -sin x), тогда используется подстановка tg x=t
Замечания:
1) Эта же подстановка используется для этого интеграла 
2) В третьем случае применяется так же подстановка cox 2x=t
Интегралы вида 
Рассмотрим 
, 
Используются правила
1. Пусть 
, явл. нечетным →тогда исп. подстановка sin x = b
2. Пусть 
явл. нечетным →тогда исп. подстановка cos x = t
3. Пусть 
явл. четной →тогда исп. подстановка формулы понижения степени 
; 
4. Пусть 
, четные →исп. Подстановка tg x=t
Замечания: при интегрировании триг. функций исп. И триног. Преобразования
Например: 
, 
, 
Выражение можно преобразовать из произведения тригонометрических функций в сумму
Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида
(1)
Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами
(2)
(3)
(4)
можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам
(5)
и
(6)