Решить уравнение с параметром, значит найти все значения параметров, при которых данное уравнение имеет решение.




Практическое занятие № 85 на тему: Уравнения и неравенства с параметром.

 

Если уравнение f(x;a)=0 надо решить относительно переменной x, а буквой a обозначено произвольное действительное число, то f(x;a)=0 называют уравнением с параметром a.

Решить уравнение с параметром, значит найти все значения параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

При одних значениях параметра уравнение не имеет корней, при других — имеет бесконечно много корней, при третьих — уравнение решается по одним формулам, при четвёртых — по другим.

Все эти случаи в ходе решения нужно учитывать.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Аналогично определяются и неравенства с параметром.

Решить неравенство с параметром, значит исследовать, каким будет решение неравенства для всех возможных значений параметра.

Пример 1:

реши неравенство (относительно x ):

ax−1>3.

Преобразуя неравенство, получим:

ax>4.

В зависимости от значения a возможны три случая решения:

1) если a<0, то

x<4/a; x∈(−∞;4/a);

2) если a=0, то x∈∅;

3) если a>0, то

x>4/a; x∈(4/a; +∞).

Пример 2:

реши уравнение (относительно x ):

2a⋅(a−2)⋅x=a−2.

Решая уравнение, можно заметить, что коэффициент при x может обратиться в 0 при определённом значении параметра a. Поэтому, в зависимости от значения a, возможны три случая решения:

1) если a=0, то уравнение примет вид

0⋅x=−2, x∈∅;

2) если a=2, то уравнение примет вид

0⋅x=0, x∈R;

3) если a≠0, a≠2, то коэффициент при x отличен от 0, и на этот коэффициент можно разделить обе части уравнения. Получим, что x=(a−2)/(2a⋅(a−2))=1/2a.

Пример 3:

При каких значениях параметра a уравнение имеет решение?
2х+5,7 =5a−17.

Решение:

Значения показательной функции независимо от основания могут быть только положительные.
См. графики показательных функций, они находятся выше оси Ox.

Решать показательное уравнение не надо. Необходимо определить те значения параметра, которые соответствуют области значения.

5a−17>0;

5a>17;

a>17/5;

a>3,4;

a∈(3,4;+∞).

Пример 4:

Реши неравенство x2+3x+t≥8 с параметром t.

Решение:

План решения квадратного неравенства:
1) решение соответствующего квадратного уравнения;
2) схематичное построение параболы;
3) написание ответа.
x2+3x+t≥8;

х2+3x+t−8≥0;

x2+3x+t−8=0;

D=b2−4ac=32−4⋅1⋅(t−8)=9−4t+32=41−4t.

Чтобы определить число корней квадратного уравнения, D сравнивают с 0:
1) если D<0, то у квадратного уравнения нет корней;
2) если D=0, то у квадратного уравнения один корень;
3) если D>0, то у квадратного уравнения два различных корня.

Решением квадратного неравенства являются все действительные числа при таком значении параметра t.

1)
D<0;

41−4t<0;

4t>41;

t<10,25;

t∈(10,25;+∞).Квадратное уравнение корней не имеет, а решением квадратного неравенства являются все действительные числа, если параметр t — из данного интервала.

2)
D=0;

41−4t=0;

4t=41;

t=10,25.
Решением уравнения является один корень, а решением квадратного неравенства являются все действительные числа при таком значении параметра t.

 

3)
D>0;

41−4t>0;

4t<41;

t<10,25;

t∈(−∞;10,25)

Находим оба корня.

И решением квадратного неравенства являются все значения x из полученного объединения интервалов, если параметр t — из данного интервала

x1= ; x2=

х

Домашнее задание: 0.2 §.12

1) Реши неравенство (относительно x ): ax−1>5.

2) При каких значениях параметра a уравнение имеет решение?
2х+5,7 =3a−19.

3) Реши неравенство x2+3x+t≥5 с параметром t.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2021-02-02 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: