*
1. Слово «вероятность» разрезали на буквы, карточки с буквами перемешали и наудачу выложили в ряд. Найти вероятность того, что будет сложено слово «вероятность».
2. Имеется 11 билетов, среди которых 3 выигрышных. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов ровно 2 выигрышных.
3. В цехе работают 6 мужчин и 7 женщин. По табельным номерам наудачу отобрали 5 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц: а) 4 женщины и один мужчина; б) все женщины; в) хотя бы три женщины; г) ровно два мужчины; д) хотя бы один мужчина.
4. Тестирование для получения двух грантов одинаково успешно прошли 7 студентов ИЖГТУ, в том числе 2 студента УДГУ. Жюри наудачу выбирает двух студентов. Найти вероятность того, что один из обладателей грантов окажется студентом ИЖГТУ.
5. На группу из 10 юношей и 14 девушек выдали 6 билетов в театр. Какова вероятность, что при случайном распределении билетов в группе «театралов» окажется поровну юношей и девушек.
6. В библиотеке среди двухсот сорока книг – 20 книг по теории вероятностей. Наугад выбрали 5 книг. Найти вероятности следующих событий: а) в выборке нет ни одной книги по теории вероятностей; б) в выборке будут две книги по теории вероятностей; в) хотя бы одна книга по теории вероятностей.
7. Четыре письма случайно раскладываются по четырем конвертам с указанными адресами, по одному письму в каждый конверт. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет в свой конверт.
8. Три фермера независимо возвращают банку кредит. Вероятности своевременного возвращения ими кредитов таковы: 0,8; 0,7; 0,6. Вычислить вероятности следующих событий: а) все три фермера своевременно возвратят кредит;б) только один фермер своевременно возвратит кредит; в) хотя бы один своевременно возвратит кредит.
9. Имеются две урны. В первой урне -10 красных и 6 черных шаров. Во второй -4 красных и 6 черных. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что: а) оба шара будут красными; б) из первой будет вынут красный шар, а из второй- черный; в) хотя бы один из вынутых шаров будет черный.
10. Из коробки, содержащей 8 пронумерованных жетонов, вынимают один за другим находящиеся в ней жетоны и укладывают рядом. Найти вероятность того, что номера вынутых жетонов будут идти по порядку.
11. Какова вероятность того, что два определенных студента будут посланы на практику вместе, если предоставлено в Самаре 6 мест, в Перми-10 мест и в Казани -4 места.
12. Из 25 студентов группы 12 занимаются научной работой на кафедре бухгалтерского учета, 7человек на кафедре экономического анализа, остальные -на кафедре статистики. Какова вероятность того, что два случайно отобранных студента занимаются на кафедре статистики.
13. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства выключается случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
14. Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания в эти зоны при одном выстреле соответственно равны 0,1; 0,35 и 0,4. Найти вероятность: а) попадания в первую зону или третью; б) промах по мишени; в) попадание хотя бы в одну зону.
15. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Выстрелы производятся по одному до первого попадания. Определить вероятность того, что придется производить четыре выстрела.
16. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии-0,2; на втором-0,35; на третьем-0,15. Определить вероятность того, что акционер имеющий акции: а) получит дивиденды на одном из предприятий; б) не получит дивиденды ни на одном предприятии; в) получит дивиденды хотя бы на одном из предприятий.
17. В урне содержатся 5 черных, 6 белых и 7 красных шаров. Последовательно без возвращения из урны извлекают три шара. Найти вероятность того, что: а) первый шар – черный, второй – белый, третий – красный; б) первый шар белый, а второй и третий – красные.
18. Вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний событие А произойдет хотя бы один раз, равна 0.5. Определить вероятность появления события А при одном испытании, если эта вероятность неизменна для всех испытаний.
19. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы вероятность попадания в десятку хотя бы один раз была не менее 0.9? Вероятность попадания в десятку для всех выстрелов неизменна и равна 0.6.
20 Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на восемь вопросов из тех сорока, которые могут быть предложены. Какова вероятность сдачи коллоквиума?
21. В спортивном зале мячи находятся в трех корзинах. В первой лежит 3 волейбольных мяча, 1 футбольный и 5 баскетбольных. Во второй корзине соответственно 1, 2 и 4 мяча указанных видов, в третьей – 7, 1, 2. Из каждой корзины взяли по одному мячу. Найти вероятность того, что все они предназначены для одной игры.
22. Деталь проходит при обработке четыре операции. Вероятности испортить деталь при этих операциях соответственно равны 0,1; 0,05; 0,1 и 0,01. Чему равна вероятность получения не бракованной детали?
*
23. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в отношении 1:3:5. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 80%, третьей - 95%. Найти вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие окажется стандартным.
24. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 12 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один. Найти вероятность того, что взят белый шар.
25. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третей урны, окажется белым.
26. Имеется три одинаковых на вид урны. В первой урне содержится 2 белых и 1 черный, во второй – 3 белых и 1 черный, а в третьей – 2 белых и два черных шара. Некто выбирает наудачу одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
27. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4 станка марки С. Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна: 0.9, 0.8, 0.7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?
28. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 80%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что деталь произведена первым автоматом.
29. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0.99; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0.8 и 0.9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.
30. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 0,8. Вероятность ошибочного обнаружения туберкулеза у здорового человека равна 0,3. Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна 20%. Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.
31. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0.8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0.2 – только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятностью 0.7; если только помеха, - то с вероятностью 0.3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие сигнала. Найти вероятность того, что на его входе действительно есть полезный сигнал.
32. Урна содержала 6 белых и 4 черных шаров, но один шар, цвет которого неизвестен, утерян. При испытании состава урны были вынуты сразу 2 белых и 3 черных шаров. Какова вероятность того, что утерян белый шар?
33. Имеется 3 урны, в каждой из которых по 5 белых и по 3 черных шара. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в третью урну.Определить вероятность извлечения после такого перекладывания белого шара из последней урны.
34. В правом кармане лежат три монеты по 10 руб. и четыре монеты по 5 руб, а в левом - шесть по 10 руб. и три по 5 руб. Из правого кармана в левый наудачу перекладываются пять монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты в 10 руб., если монета берется наудачу.
35. В студенческой группе 15 девушек и 10 юношей. Зимнюю сессию сдали на «отлично» 4 девушки и 2 юноши. Деканат наудачу выбирает студента группы. Он оказался «отличником». Найти вероятность, что этот студент является юношей.
36. В группе в 30 человек имеется четыре человека, которые в десяти случаях из десяти верно решают задачи, предлагаемые на практических занятиях; одиннадцать человек это делают в восьми случаях из десяти; десять человек в шести случаях; остальные пять – в трех случаях из десяти. На занятии наудачу вызванный студент верно решил задачу. Найти вероятность, что это был студент принадлежащий к первой из перечисленных групп.
37. Студент добирается на занятия в половине случаев на автобусе, а в половине случаев на троллейбусе. Вероятность опоздания в первом случае равна 0,05, а во втором – 0,09. Найти вероятность, что сегодня студент добирался на автобусе, если он сегодня опоздал.
38. Предприятие по сборке телеаппаратуры имеет две линии, причем производительность первой линии в два раза меньше производительности второй. Известно, что первая линия в среднем дает 1,5 % изделий, имеющих производственные дефекты, а вторая линия – 2 %. Найти вероятности того, что приобретенный телевизор данного предприятия не будет иметь производственных дефектов.
39. Три бухгалтера обрабатывают одинаковое количество счетов за рабочий день. Вероятности допустить ошибку первым, вторым и третьим бухгалтером равны 0,05; 0,02 и 0.01 соответственно. При проверке одного из счетов была обнаружена ошибка. Какова вероятность, что его обрабатывал первый бухгалтер?
40. В первой урне имеется 10 белых и 5 красных шаров, во второй – 8 белых и 10 красных, в третьей – 6 белых и 6 красных. Выбирающий наугад подошел к одной из урн и наугад взял один шар. Вычислить вероятность того, что этот шар оказался красным.
41. В обследуемой группе мужчин некоторого возраста 60 % курящих, а остальные – некурящие. В среднем 30 % курящих этого возраста имеют заболевания легких, у некурящих – 5 %. Вычислить вероятность того, что случайно обследуемый мужчина этого возраста имеет заболевание легких.
42. Два рабочих производят однотипные детали, при этом производительность первого в два раза больше, чем у второго. У первого рабочего получается в среднем 2 % брака, у второго – 1 %. Контролер обнаружил бракованную деталь. Каким вероятнее рабочим она изготовлена?
43. Магазин медтехники приобрел 70 % однотипных приборов одного завода и 30 % – другого. Известно, что первый завод выпускает 90 % приборов, могущих прослужить определенный срок, а второй – 95 %. Найти вероятность того, что наугад приобретенный прибор прослужит заданный срок.
44. Винты изготавливаются на двух станках. Вероятность брака первого станка равна 0,04, для второго – 0,02. Производительность первого станка в 3 раза больше, чем второго. Готовые винты складываются в один ящик. Чему равна вероятность того, что винт изготовлен на первом заводе, если известно, что он без дефекта?
45. На сборочный конвейер поступают детали с четырех автоматических станков. Первый станок дает 0,5 % брака, второй – 0,4 % брака, третий – 0,7 %, четвертый – 0,6 %. С первого станка на конвейер поступило 1 200 деталей, со второго – 1 500, с третьего – 2 000, с четвертого – 1 300. Вычислить вероятность попадания на конвейер бракованной детали.
*
46. При изготовлении облицовочной плитки 70 % изделий оказываются первосортными. Сколько надо взять плиток, чтобы с вероятностью, превышающей 0,99, можно было утверждать, что доля первосортных плиток среди них будет отличаться от вероятности 0,7 не более чем на 0,05 (по абсолютной величине)?
47. Отдел технического контроля проверяет на стандартность 100 изделий. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,92. Найти с вероятностью 0,9544 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных.
48. Найти границы, в которых с вероятностью 0,8611 находится относительная частота родившихся девочек из 600 новорожденных, если вероятность рождения девочки 0,485.
49. Сколько нужно произвести опытов с бросанием монеты, чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты выпадения «герба» от вероятности выпадения «герба» по абсолютной величине будет меньше 0,1?
50. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6. Найти число выстрелов по мишени, чтобы с вероятностью 0,993 ожидать, что отклонение частости от вероятности 0,6 будет меньше 0,03 (по абсолютной величине).
51. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,3. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0,975 отклонение относительной частоты попадания от вероятности 0,3 не превзошло 0,04 (по абсолютной величине)?
52. Сколько нужно произвести бросаний монеты, чтобы с вероятностью 0,92 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности его появления будет не более 0,01 (по абсолютной величине)?
53. Монета подбрасывается 200 раз. Найти вероятность того, что относительная частота появления «герба» отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
54. Вероятность того, что студент воспользуется услугами банкомата, равна 0,1. Оценить, что услугами банкомата воспользуются от 15 до 25 человек из 200 студентов. Найти вероятность того, что отклонение числа студентов, которые воспользуются банкоматом, от наивероятнейшего числа не превзойдет трех.
55. Вероятность попадания стрелка в цель при одном выстреле равна 0,9. Определить вероятность того, что при 500 выстрелах отклонение относительной частоты попадания от вероятности попадания в одном выстреле будет отличаться по абсолютной величине не более чем на 0,01.
56. В среднем 80 % саженцев яблони приживались при посадке. Определить вероятность того, что при 400 посаженных, отклонение относительной частоты приживания саженца от вероятности приживания отдельного саженца будет отличаться по абсолютной величине не более чем на 0,02.
57. Вероятность приживания каждого из 400 посаженных деревьев равна 0,8. Определить вероятность того, что число прижившихся деревьев будет по абсолютной величине отличаться от наивероятнейшего их числа не более чем на 30.
58. Вероятность попадания данного стрелка в мишень в отдельном выстреле равна 0,3. Сколько нужно ему произвести выстрелов, чтобы гарантировать с вероятностью 0,996, что отклонение относительной частоты попаданий от вероятности 0,3 не превысит по абсолютной величине 0,04?
59. Стрелок в среднем поражал цель в 70 % случаев. Определить вероятность того, что при 400 выстрелах отклонение частоты попаданий от наивероятнейшей частоты будет по абсолютной величине отличаться не более чем на 20.
60. Товаровед книжного магазина осматривает к продаже 900 учебников. В среднем 95 % учебников годны к продаже. Найти наивероятнейшее число годных к продаже в этой партии и вероятность того, что число годных отклонится по абсолютной величине от наивероятнейшего числа не более чем на 15 учебников.
61. Оценить, сколько нужно проверить изделий, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты годности изделия от вероятности 0,9 изделия быть годным не превысила 0,01.
62. С конвейера сходит в среднем 80 % изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,996 гарантировать, что по абсолютной величине отклонение относительной частоты от вероятности изделия первого сорта не превысит 0,01?
63. Оценить вероятность того, что в партии из 10 000 подшипников отклонение относительной частоты брака от вероятности подшипнику быть бракованным, равной 0,01, не превысит по абсолютной величине 0,03.
64. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,6. Оценить вероятность того, что при 600 выстрелах число попаданий в мишень будет по абсолютной величине отличаться от наивероятнейшего числа попаданий не более чем на 25.
65. Кооператив выпускает 80 % облицовочной плитки высшим сортом. Определить вероятность того, что среди 10 000 изготовленных плиток число плиток высшего сорта будет отличаться от наивероятнейшего числа не более чем на 200.
66. Приживаемость саженца данной породы равна 40 %. Найти вероятность, что из 400 посаженных саженцев количество прижившихся отклонится от наивероятнейшего числа прижившихся не более чем на 10 штук (по абсолютной величине).
67. Приживаемость саженца данной породы равна 40 %. Найти вероятность, что из 400 посаженных саженцев количество прижившихся отклонится от наивероятнейшего числа прижившихся не более чем на 10 штук (по абсолютной величине).
68. Всхожесть семян данной культуры составляет 80 %. Оценить вероятность того, что относительная частота проросших семян среди посеянных для контроля всхожести отклонится от вероятности всхожести не более чем на 0,01 (по абсолютной величине), если было посеяно 100 семян.
69. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,02. Найти с вероятностью 0,979 границы, в которых будет заключено число m бракованных изделий среди проверенных.
*
70. Сколько раз надо подбросить монету, чтобы наивероятнейшее число выпадений герба было равно 32?
71. В определенной возрастной группе населения 3 % больных гипертонией. Какова вероятность того, что из 200 человек данного возраста будет:а) 2 больных гипертонией; б) не менее двух больных гипертонией.
72. Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии в течение некоторого периода t равна 0,01. На факультете учатся 1 500 студентов. Требуется: а) найти вероятность того, что за период эпидемии заболеет 5 студентов; б) определить наиболее вероятное число заболевших и его вероятность.
73. Доля изделий высшего сорта продукции данной фабрики составляет 90 %. В продажу поступила партия из 900 изделий. Найти вероятности следующих событий: а) в данной партии окажется 600 изделий высшего сорта;б) не более 600 изделий высшего сорта.
74. Предполагая, что вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, найти вероятность того, что в семье, имеющей шесть детей, не менее двух девочек. 73. Всхожесть семян данной культуры составляет 90 %. Будет посеяно 500 семян. Вычислить вероятности следующих событий: а) в данной партии не взойдет 40 семян; б) взойдет не менее 300 семян.
75. Приживаемость саженцев кедра составляет 90 %. Вычислить вероятности следующих событий: а) при четырех посаженных приживется только один; б) хотя бы один из четырех.
76. Вероятность того, что отдельный счет, обработанный данным бухгалтером, содержит ошибку, равна 0,01. Найти вероятность того, что в подготовленных 150 счетах будет не более двух с ошибкой. Найти наивероятнейшее число счетов с ошибками среди подготовленных.
77. Вероятность нарушения герметичности консервной банки равна 0,0004. Найти вероятность того, что из 5 000 банок герметичность нарушится не меньше чем в двух банках.
78. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,6. Найти наивероятнейшее число поступивших заявок на снабжение в данный день и его вероятность.
79. Электростанция обслуживает сеть с 16 000 лампочек, каждая из которых может быть включена в определенный период времени с вероятностью 0,6. Вычислить вероятность, что за этот период времени будет включено: а) количество лампочек, равное наивероятнейшему числу включенных б) не менее 9 000 лампочек.
80. В среднем 90 % из числа взявших кредит возвращают его в срок договора. Восемь человек 1 июля взяли кредит. Чему равна вероятность, что из них в срок расплатятся:
а) шесть человек; б) хотя бы один?
81. Вероятность допущения ошибки при обработке счета бухгалтером равна 0,01. Какова вероятность, что при обработке двухсот счетов количество счетов, содержащих ошибку, окажется не более одного?
82. График работ состоит из семи частей, каждая из которых может быть выполнена без нарушения своего срока выполнения с вероятностью 0,8 независимо от того, нарушались ли сроки выполнения других частей. Найти вероятность, что при выполнении работ срок будет нарушен: а) для трех частей графика; б) хотя бы для одной части графика.