Задания для самостоятельного решения

Занятие 11

Вписанные и описанные около четырехугольника окружности.

Окружность называется вписанной в четырехугольник, если все стороны четырехугольника являются касательными к окружности.

Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис углов четырехугольника. В этом случае радиусы, проведенные в точки касания являются перпендикулярами к сторонам четырехугольника

Окружность называется описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершины.

Центром этой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырехугольника

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность и не около всякого четырехугольника можно описать окружность

 

СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

ТЕОРЕМА В выпуклом вписанном четырехугольнике суммы противолежащих углов равны между собой и равны 180°.

ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих углов равны, то около четырехугольника можно описать окружность. Ее центр - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

ТЕОРЕМА Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противолежащих сторон его равны.

ТЕОРЕМА Обратно: если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность. Ее центр - точка пересечения биссектрис.

Следствия: из всех параллелограммов только около прямоугольника (в частности около квадрата) можно описать окружность.

Из всех параллелограммов только в ромб (в частности в квадрат) можно вписать окружность (центр - точка пересечения диагоналей, радиус - равен половине высоты).

Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная. Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если в трапецию вписана окружность, то радиус ее равен половине высоты.

 

Задания с решениями

 

1. Найти диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

Решение

 

Центром окружности, описанной около прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Следовательно, диагональ АС равна 2 R. То есть АС =10
Ответ: 10.

 

2. Около трапеции, основания которой 6 см и 8 см, а высота 7см, описан круг Найти площадь этого круга.

Решение

 

Пусть DC =6, AB =8. Так как около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.

Проведем две высоты DM и CN. Так как трапеция равнобедренная, то AM=NB =

Тогда AN =6+1=7

Из треугольника ANС по теореме Пифагора найдем АС.

Из треугольника CВN по теореме Пифагора найдем ВС.

Окружность, описанная около трапеции, является и окружностью, описанной около треугольника АСВ.

Найдем площадь этого треугольника двумя способами по формулам

, гдe h - высота и - основание треугольника

,где R- радиус описанной окружности.

Из этих выражений получаем уравнение . Откуда

Площадь круга будет равна

Ответ

3. Углы , и четырехугольника относятся как . Найдите угол , если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах

Решение.

Из условия следует, что .Так как около четырехугольника можно описать окружность, то

Получаем уравнение . Тогда . Сумма всех углов четырехугольника равна 360º. Тогда

. откуда получаем, что

Ответ 90º

4.Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Тогда

Тогда средняя линия равна

Ответ 4

5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Решение

В трапеции радиус вписанной окружности равен половине высоты. Проведем высоту СК.

Тогда .

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Тогда

Тогда периметр

Получаем уравнение

Ответ 2

6. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Решение

 

Пусть О центр описанной около трапеции окружности. Тогда .

Проведем высоту КН через точку О

Тогда , где КО и ОН высоты и одновременно медианы равнобедренных треугольников DOC и АОВ. Тогда

По теореме Пифагора:

=

Тогда

Ответ: 7.

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82º и 58º. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

1. Углы А, В и С четырехугольника ABCD относятся как 3:2:5. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах

1. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 1

1. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 8 и 12. Найдите среднюю линию трапеции.

1. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

1. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 32, ее большая боковая сторона равна 9. Найдите площадь вписанного круга.

1. В четырехугольник ABCD вписана окружность, ,. Найдите периметр четырехугольника.

1. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон.

1. В четырехугольник ABCD вписана окружность, . Найдите четвертую сторону четырехугольника.

1. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

1. Сторона ромба равна 1, острый угол равен . Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

1. Острый угол ромба равен . Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба.

 

1. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

 

1. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25.Найти высоту трапеции
2. В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. Найдите площадь трапеции.
3. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна , а высота трапеции в два раза меньше её боковой стороны. Найдите радиус окружности.
4. Около трапеции ABCD с основаниями AD и BC описана окружность радиуса 5. Центр описанной окружности лежит на основании AD. Основание BC равно 6. Найдите диагональ AC трапеции.
5. В равнобедренную трапецию площадью 28 вписана окружность радиуса 2. Найдите боковую сторону трапеции.
6. Диагонали ромба 6 и 8.Найти сторону ромба и площадь вписанного круга.
7. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9, а радиус вписанной в неё окружности равен 4. Найти большее основание трапеции.
8. Найти радиус окружности, описанной около прямоугольника, если его периметр равен 14 см, а площадь12 см.
9. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 8. Верхнее основание трапеции в два раза меньше её высоты. Найдите площадь трапеции.
10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60º, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.