Аннотация
Гурина А.В. Роль математики в современном естествознании. Челябинск.
ЮурГУ, ЭиУ, 2005, 21 с.
Библиография – 8 наименований.
В данном реферате рассматривается предмет и специфика математики, математика, как источник представлений и концепций в естествознании и математика, как язык точного естествознания.
Содержание
Аннотация……………………………………………………………………….2
Ведение…………………………………………………………………………..4
1. Предмет и специфика математики…………………………………………..6
2. Математика – источник представлений и концепций в
естествознании………………………………………………………………..9
3. Математика – язык точного естествознания……………………………….13
Заключение……………………………………………………………………...19
Список использованной литературы…………………………………………..22
Введение
Вряд ли вызывает сомнение утверждение: математика нужна всем вне зависимости от рода занятий и профессии. Однако для разных людей необходима и различная математика: для продавца может быть достаточно знаний простейших арифметических операций, а для истинного естествоиспытателя обязательно требуются глубокие знания современной математики, поскольку только на их основе возможно открытие законов природы и познание ее гармонического развития. Иногда к познанию математики влекут и субъективные побуждения. Об одном из них Луций Анней Сенека (4 до н.э. – 65 н.э.), римский писатель и философ, писал: «Александр, царь Македонский, принялся изучать геометрию – несчастный! – только с тем, чтобы узнать, как мала земля, чью ничтожную часть он захватил. Несчастным я называю его потому, что он должен был понять ложность своего прозвища, ибо можно ли быть великим на ничтожном пространстве». [ 3, c.29].
Возникает вопрос: может ли серьезный естествоиспытатель обойтись без глубокого познания премудростей математики? Ответ несколько неожиданный: да, может. Однако к нему следует добавить: только в исключительном случае. И вот подтверждающий пример. Чарлз Дарвин, обобщая результаты собственных наблюдений и достижения современной ему биологии, вскрыл основные факторы эволюции органического мира. Причем он сделал это, не опираясь на хорошо разработанный к тому времени математический аппарат, хотя и высоко ценил математику: «… в последние годы я глубоко сожалел, что не успел ознакомиться с математикой, по крайней мере настолько, чтобы понимать в ее великих руководящих началах; так усвоившие их производят впечатление людей, обладающих одним органом чувств более, чем простые смертные».
Кто знает – может быть, обладание математическим чувством позволило бы Дарвину внести еще больший вклад в познание гармонии природы.
Известно, что еще в древние времена математике придавалось большое значение. Девиз первой академии – платоновской академии – «Не знающие математики сюда не входят» - ярко свидетельствует о том, насколько высоко ценили математику на заре науки, хотя в те времена основным предметом науки была философия.
Простейшие в современном понимании математические начала, включающие элементарный арифметический счет и простейшие геометрические измерения, служат отправной точкой естествознания.
«Тот, кто хочет решить вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым не является», - утверждал выдающийся итальянский физик и астроном, один из основоположников естествознания Галилео Галилей (1564-1642).
Предмет и специфика математики
Математика имеет для естествознания непреходящее значение, а потому прежде чем обратиться непосредственно к анализу ее роли, целесообразно рассмотреть вопрос о ее достоинствах.
Самое лаконичное и притом довольно удачное определение математики дает Николай Бурбаки (коллективное имя группы французских математиков). Он определяет современную математику как науку о структурах, «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». В данном случае под структурой имеется в виду определенным образом упорядоченное многообразие математических элементов (чисел, функций и т.п.). [ 2, c.27].
В основаниях любой математической дисциплины непременно обнаруживаются некоторые математические элементы и постилируемые различия между ними. При этом для построения математической системы используются, как правило, два метода: аксиоматический и конструктивистский.
При аксиоматическом методе исходят из аксиом (исходных положений теории) и правил вывода (дедукции) из них других положений. Широко используются символьные записи, а не громоздкие словесные выражения. Замена естественного языка математическими символами называется формализацией. Если формализация состоялась, то аксиоматическая система является формальной, а положения системы приобретают характер формул. Получаемые в результате вывода доказательства формулы называются теоремами. Таково описанное вкратце содержание аксиоматического метода.
В случае конструктивистского метода исходят из принимаемых интуитивно очевидными математических конструктов, на их основе строят более сложные, чем они, элементы (а не выводят формулы), в процессе конструирования этих элементов используют подходящую для построения последовательность шагов.
Математик непременно оперирует конструктами, часть из которых принимается интуитивно, выражаясь точнее, на основе обобщения доступного ему математического опыта, а другие либо дедуцируются из аксиом, либо конструируются, чаще всего в форме последовательно осуществляемых символьных записей. Для математика важно задать отличие метематических конструктов друг от друга. В естествознании чувства, мысли, слова и предложения несут информацию об изучаемых природных явлениях, они обращены в сторону природы. В математике дело обстоит принципиально по –другому, здесь математические конструкты «не смотрят по сторонам », они соотносятся исключительно друг с другом. Поясним сказанное на примере задания натуральных чисел.
Натуральное число может быть задано на основе следующих аксиом (правил):
1. 0 является натуральным числом.
2. Если n натуральное число, то и следующее за ним n′ - натуральное число.
3. Никаких натуральных чисел, кроме тех, которые получаются согласно 1 и 2, не существует.
4. Для любых натуральных чисел m и n из m′=n′ следует m=n.
5. Для любого натурального числа n, n′ ≠ 0.
Задать натуральное число – значит выразить операцию «′», читается «следующий за» столько раз, сколько это необходимо для задания числа. Так, задать натуральное число означает дважды применить операцию «′». Используя операцию «следующий за», «′», математик строит ряд натуральных чисел настолько далеко, насколько это возможно. Ему важно установить, какое число следует за каким, как соотносятся числа друг с другом (так, 5 – 3 = 2, «5» - это число, которое на «2» больше, чем «3»), то есть какова их упорядоченность. Вопрос о том, существуют ли числа в природе, математика не интересует (природой пусть занимаются естествоиспытатели), ему важно изобрести систему упорядоченных конструктов, характер взаимосвязи которых невозможно установить без задания их отличительных признаков.
Характер математического знания таков, что его приверженцы, оправдывая свой статус, вынуждены, разумеется, это делается в силу их свободного волеизъявления, как можно более детально устанавливать характер упорядоченности тех совокупностей элементов, которые они изобретают и изучают. Именно в этой связи доказательство новой теоремы или построение ранее неизвестного конструкта расценивается как математический успех. Интерес математика заключен в изобретении многообразий упорядоченных математических конструктов.
Если многообразие математических конструктов не упорядочено, то есть невозможно их сопоставление друг с другом, то работа математика теряет всякий смысл. Дабы этого не случилось, математик внимательно следит за тем, чтобы математическая теория была непротиворечивой. Математическая теория называется непротиворечивой, если в ней не наличествуют два или больше взаимно исключающих предположения. Наличие противоречий «разваливает» математическую теорию. Простой пример: если бы согласно таблице умножения 3 × 3 = 9 и 3 × 3 = 8, то ее невозможно было бы продуктивно использовать.
Многовековое развитие математики показывает, что непротиворечивость – это ее основополагающий научный критерий.