График эмпирической функции распределения для непрерывного вариационного ряда называют кумулятивной кривой или просто кумулятой. Название происходит от английского слова accumulation – накопление.
При нахождении значений функции Fn (x) в числителе записывалась сумма некоторых частот. Эта сумма также имеет свое название – кумулятивная или накопленная частота соответствующего интервала. Дадим более точное определение.
Пусть дан вариационный интервальный ряд распределения частот.
Накопленной частотойniнак. i – го интервала называется сумма частоты данного интервала и частот всех предшествующих интервалов, т.е.
.
Нетрудно понять, что накопленная частота последнего интервала совпадает с объемом выборочной совокупности.
Аналогично, для каждого интервала можно определить накопленные частости.
Накопленной частостьюwiнак. i – го интервала называется сумма частости данного интервала и частотей всех предшествующих интервалов, т.е.
.
Ясно, что накопленная частость последнего интервала равна 1.
Определив накопленные частости интервалов, можно иначе определить и кумуляту.
Пусть дан интервальный ряд распределения частостей
| Интервалы | а 1 – а 2 | а 2 – а 3 | … | a m - a m+1 |
| Частости интервалов | w 1 | w 2 | … | w m |
Кумулятой (кумулятивной кривой) интервального ряда распределения частостей называют графическое представление данного ряда в виде ломаной линии, вершины которой находятся в точках с координатами (ai +1; wi), i = 1, 2, …, m, при этом первая точка ломаной находится на оси абсцисс и имеет координаты (а 1; 0).
В качестве графического представления интервального ряда может быть рассмотрена ломаная с вершинами в точках (а 1; 0) и (ai +1; ni), i = 1, 2, …, m. В этом случае полученная кривая будет называться кумулятой распределения частот (а не частостей) интервального ряда.
Общий вид кумулят распределения частот и частостей будет один и тот же. Отличие состоит лишь в масштабе на оси ординат.
Пример 4.5. Для данного интервального ряда построить кумуляту распределения частот и кумуляту распределения частостей
| Интервалы | 1-3 | 3-5 | 5-7 | 7-9 | 9-11 |
| Частоты интервалов |
Решение. Объем статистической совокупности равен n = 20.
Дополним данный интервальный ряд тремя строками. В третьей строке запишем накопленные частоты интервалов, в четвертой – частости, в пятой – накопленные частости интервалов, получим
| Интервалы | 1-3 | 3-5 | 5-7 | 7-9 | 9-11 |
| ni | |||||
| niнак | |||||
| wi | 0,15 | 0,3 | 0,35 | 0,15 | 0,05 |
| wiнак | 0,15 | 0,45 | 0,8 | 0,95 |
Кумулята распределения частот имеет вид:
Кумулята распределения частостей имеет вид:
 |
■
По правилу, связанному с накопленными частотами и частостями, строят кумуляту и для дискретного вариационного ряда. Аналогично определяется накопленная частота и накопленная частость для варианта. Ломаная линия с вершинами в точках (xi, niнак), i = 1, 2, …, m будет определять кумуляту распределения частот дискретного ряда, а ломаная линия с вершинами в точках (xi, wiнак), i = 1, 2, …, m – кумуляту распределения частостей дискретного ряда.
Пример 4. 6. Построить кумуляту распределения частот и кумуляту распределения частостей для следующего дискретного ряда
| Варианты хi | ||||
| Частоты ni |
Решение. Объем статистической совокупности равен n = 10. Дополним данный дискретный ряд тремя строками. В третьей строке запишем накопленные частоты вариантов, в четвертой – частости, в пятой – накопленные частости вариантов, получим
| Варианты хi | ||||
| Частоты ni | ||||
| niнак | ||||
| wi | 0,1 | 0,3 | 0,5 | 0,1 |
| wiнак | 0,1 | 0,4 | 0,9 |
Строим кумуляту распределения частот:
и кумуляту распределения частостей:
Для вариационных рядов существуют и другие графические представления.
Полигон распределения
Полигон распределения чаще всего используют для графического представления дискретных рядов.
Пусть дан дискретный ряд распределения частот (частостей).
Полигоном распределения частот дискретного вариационного ряда называется ломаная с вершинами в точках (x i, n i), i = 1, 2, …, m. Для построения полигона распределения частостей вершины ломаной должны находиться в точках (x i, w i), i = 1, 2, …, m.
Пример 4.7. Построить полигон распределения частот и полигон распределения частостей для следующего дискретного ряда:
| Вариант | ||||||
| Частота |
Решение. Объем статистической совокупности равен 20. Дополним ряд одной строкой, где определим для каждого варианта частость, получим
| Вариант | ||||||
| Частота | ||||||
| Частость | 0,15 | 0,2 | 0,3 | 0,25 | 0,05 | 0,05 |
Полигон распределения частот имеет вид:
 |
Полигон распределения частостей имеет вид:
 |
■
Очевидно, что полигон распределения частостей дискретного ряда является статистическим (выборочным) аналогом многоугольника распределения дискретной случайной величины.
Для графического представления интервального ряда также может быть построен полигон. Однако вначале интервальный ряд преобразуют в дискретный, для чего каждый интервал заменяют на число, равное середине интервала и ставят в соответствие этому числу частоту (или частость) рассматриваемого интервала. Затем для полученного дискретного ряда строят полигон, который будет являться полигоном и для данного интервального ряда.
Пример 4.8. Построить полигон распределения частот для следующего интервального ряда:
| Интервалы | 2-5 | 5-8 | 8-11 | 11-14 | 14-17 | 17-20 |
| Частоты |
Решение. Объем статистической совокупности равен 16. Дополним таблицу одной строкой. В третьей строке запишем z i – середины соответствующих интервалов, получим
| Интервалы | 2-5 | 5-8 | 8-11 | 11-14 | 14-17 | 17-20 |
| Частоты | ||||||
| z i | 3,5 | 6,5 | 9,5 | 12,5 | 15,5 | 18,5 |
Полигон распределения частот имеет вид:
 | |||||
 | |||||
 |
■
Из теории вероятностей известно, что для непрерывной случайной величины имеется еще одна форма закона распределения – функция плотности распределения, график которой называется кривой распределения. Рассмотрим статистический аналог этого графика.