Задание 1.
По предложенным вам экспериментальным данным, представляющим собою макроэкономические показатели или показатели финансовой (денежно-кредитной) системы некоторой страны, т.е. случайной выборке объема n – построить математическую модель зависимости случайной величины Y от случайных величин X1 и X2. Построение и оценку качества экономико-математической (эконометрической) модели вести в следующей последовательности:
•Построить корреляционную матрицу для случайных величин и оценить статистическую значимость корреляции между ними.
•Исходя из наличия между эндогенной переменной и экзогенными переменными, линейной зависимости, оценить параметры регрессионной модели по методу наименьших квадратов. Вычислите вектора регрессионных значений эндогенной переменной и случайных отклонений.
•Найдите средние квадратические ошибки коэффициентов регрессии. Используя критерий Стьюдента проверьте статистическую значимость параметров модели. Здесь и далее принять уровень значимости 0,05(т. е. надежность 95%).
•Вычислите эмпирический коэффициент детерминации и скорректированный коэффициент детерминации. Проверьте, используя критерий Фишера, адекватность линейной модели.
•Установите наличие (отсутствие) автокорреляции случайных отклонений модели. Используйте для этого метод графического анализа, статистику Дарбина-Уотсона и критерий Бреуша-Годфри.
•Установите наличие (отсутствие) гетероскедастичности случайных отклонений модели. Используйте для этого графический анализ, тест Вайта и тест Парка для вариантов с добавочным индексом А (графический метод, тест Глейзера и тест Бреуша-Пагана для вариантов с добавочным индексом В).
•Обобщите результаты оценивания параметров модели и результаты проверки модели на адекватность.
Решение.
В таблице 1.1. приведены ежеквартальные данные о валовом внутреннем продукте (млн. евро); экспорта товаров и услуг (млн. евро); эффективный обменный курс евро к национальной волюте для Испании на период с 2000 по 2007 годы.
Таблица 1.1.
Ежеквартальные данные о валовом внутреннем продукте, экспорте товаров и услуг, эффективном обменном курсе евро к национальной валюте для Исландии на период с 2000 по 2007 годы
| Регрессант Y | Регрессор X1 | Регрессор X2 | |
| Период | ВВП, млн. евро (GDP) | Импорт товаров и услуг, млн. евро (IGS) | эффективный обменный курс евро к национальной волюте (NEER) |
| 2000q01 | 90,96 | ||
| 2000q02 | 88,19 | ||
| 2000q03 | 86,98 | ||
| 2000q04 | 85,5 | ||
| 2001q01 | 90,9 | ||
| 2001q02 | 88,76 | ||
| 2001q03 | 90,54 | ||
| 2001q04 | 91,29 | ||
| 2002q01 | 90,4 | ||
| 2002q02 | 93,06 | ||
| 2002q03 | 97,34 | ||
| 2002q04 | 98,73 | ||
| 2003q01 | 103,68 | ||
| 2003q02 | 107,51 | ||
| 2003q03 | 106,6 | ||
| 2003q04 | 109,28 | ||
| 2004q01 | 111,84 | ||
| 2004q02 | 109,37 | ||
| 2004q03 | 110,3 | ||
| 2004q04 | 113,24 | ||
| 2005q01 | 112,83 | ||
| 2005q02 | 110,28 | ||
| 2005q03 | 108,49 | ||
| 2005q04 | 107,34 | ||
| 2006q01 | 107,37 | ||
| 2006q02 | 110,14 | ||
| 2006q03 | 111,22 | ||
| 2006q04 | 111,29 | ||
| 2007q01 | 112,04 | ||
| 2007q02 | 113,46 | ||
| 2007q03 | 114,09 | ||
| 2007q04 | 116,95 |
Создадим файл с исходными данными в среде Microsoft Excel.
Исследуем степень корреляционной зависимости между переменными. Для этого построим корреляционную матрицу, используя средства «Анализа данных». Корреляционная матрица приведена в таблице 1.2.
Таблица 1.2.
| Столбец 1 | Столбец 2 | Столбец 3 | |
| Столбец 1 | 0,8602266 | 0,7479278 | |
| Столбец 2 | 0,8602266 | 0,6310579 | |
| Столбец 3 | 0,7479278 | 0,6310579 |
Из корреляционной матрицы следует, что на валовой внутренний продукт оказывает влияние оба регрессанта, т. е. экспорт товаров и услуг и обменный курс национальной валюты имеют корреляционную связь с валовым внутренним продуктом. Так же можем отметить наличие корреляционной зависимости между объясняющими (экзогенными) переменными, это может свидетельствовать о наличии в модели явления мультиколлениарности. Помощь на экзамене онлайн.
Построим многофакторную регрессионную модель, в которой зависимая переменная – Y валовой внутренний продукт.
Определим коэффициенты уравнения регрессии.
Y = b0 + b1∙X1 + b2∙X2
Результаты множественной регрессии в численном виде представлены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | |
| Y-пересечение | -1046,49 | 452,8635 | -2,31082 | 0,028151 |
| Переменная X 1 | 2,033422 | 0,328972 | 6,181146 | 9,7E-07 |
| Переменная X 2 | 18,28825 | 5,601336 | 3,26498 | 0,002809 |
| Регрессионная статистика | |||||
| Множественный R | 0,899932 | ||||
| R-квадрат | 0,809877 | ||||
| Нормированный R-квадрат | 0,796765 | ||||
| Стандартная ошибка | 243,4784 | ||||
| Наблюдения | |||||
| Дисперсионный анализ | |||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
| Регрессия | 61,76641 | 3,52E-11 | |||
| Остаток | 59281,71 | ||||
| Итого |
Как следует из данных, полученных с помощью Excel методом наименьших квадратов, полученная многофакторная модель будет иметь вид:
Y = -1046,49 + 2,0334∙X1 + 1828,83∙X2 (1.1)
(t) (-2,311) (6,181) (3,265)
Уравнение (1.1) выражает зависимость валового внутреннего продукта (Y) от экспорта товаров и услуг (Х1), обменного курса евро к национальной валюте (Х2). Коэффициенты уравнения показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. В нашем случае валовой внутренний продукт увеличивается на 2,033 ед. при увеличении экспорта товаров и услуг на 1 ед. при неизменности показателя обменного курса евро к национальной валюте; валовой внутренний продукт увеличивается на 18,288 ед. при увеличении обменного курса евро к национальной валюте на 1 ед. при неизменности показателя экспорта товаров и услуг. Случайное отклонение для коэффициента при переменной Х1 составляет 0,329; при переменной Х2 – 5,601; для свободного члена –452,86. Помощь на экзамене онлайн.
Табличное значение критерия Стьюдента, соответствующее доверительной вероятности g = 0,95 и числу степеней свободы v = n – m – 1 = 29; tкр. = t0,025;29 = 2,364.
Сравнивая расчетную t-статистику коэффициентов уравнения с табличным значением, заключаем, что все коэффициенты уравнения регрессии будут значимы, за исключением свободного члена в уравнении регрессии.
Коэффициент детерминации R2 = 0,8099;
Скорректированный на потерю степеней свободы коэффициент множественной детерминации AR2 = 0,7968;
Критерий Фишера F = 61,766;
Уровень значимости модели р < 0,0000;
Согласно критерию Фишера данная модель адекватна. Так как уровень значимости модели меньше 0,00001.
Проверим остатки на наличие автокорреляции. Для этого найдем значение статистики Дарбина-Уотсона.
 |
Промежуточные расчеты поместим в таблицу 1.4.
Таблица 1.4.
| Остатки | et2 | (et - et-1)2 |
| 218,5906 | 47781,84 | |
| 195,5567 | 38242,44 | 530,5579 |
| 67,01115 | 4490,494 | 16523,97 |
| 263,2028 | 69275,71 | 38491,16 |
| -93,1291 | 8673,038 | 126972,4 |
| -39,0766 | 1526,984 | 2921,674 |
| -273,414 | 74754,99 | 54913,8 |
| -148,784 | 22136,71 | 15532,51 |
| -146,073 | 21337,19 | 7,352526 |
| -142,422 | 20284,12 | 13,32423 |
| -178,064 | 31706,95 | 1270,362 |
| -21,1856 | 448,8302 | 24610,97 |
| -56,3965 | 3180,569 | 1239,809 |
| -131,957 | 17412,62 | 5709,365 |
| -323,811 | 104853,4 | 36807,9 |
| -166,388 | 27685,12 | 24781,77 |
| -122,682 | 15050,78 | 1910,29 |
| -132,145 | 17462,21 | 89,54899 |
| -348,301 | 121313,8 | 46723,67 |
| -80,555 | 6489,111 | 71688,04 |
| 143,844 | 20691,09 | 50354,9 |
| -38,3544 | 1471,06 | 33196,24 |
| 199,4414 | 39776,86 | 56546,82 |
| 563,206 | 132324,7 | |
| 558,4567 | 311873,9 | 22,55623 |
| -92,4285 | 8543,033 | 423651,6 |
| 8,944249 | 79,99959 | 10276,44 |
| 350,2045 | 122643,2 | 116458,5 |
| -114,207 | 13043,27 | 215678,1 |
| 175,3924 | 30762,5 | 83867,9 |
| 264,622 | 70024,81 | 7961,921 |
| -359,099 | 389027,8 | |
DW = 1,1576.
По таблице приложения 4 [1] определяем значащие точки dL и dU для 5% уровня значимости.
Для m = 2 и n = 32: dL = 1,28; dU = 1,57.
Так как DW < dL (1,1576<1,28), то нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции мы не можем принять. Следовательно, в модели присутствует автокорреляция остатков случайных отклонений.
Проверим наличие автокорреляции, используя тест Бреуша-Годфри.Тест основан на следующей идее: если имеется корреляция между соседними наблюдениями, то естественно ожидать, что в уравнении
, t = 1,…, n
(где et — остатки регрессии, полученные обычным методом наименьших квадратов), коэффициент ρ окажется значимо отличающимся от нуля.
Значение коэффициента ρ представлено в таблице 1.5.
Таблица 1.5.
| Столбец 1 | Столбец 2 | |
| Столбец 1 | ||
| Столбец 2 | 0,620823 |
Проверим значимость коэффициента корреляции, находим наблюдаемое значение по формуле:
=4,265
T>tкр, следовательно коэффициент корреляции значим, и в модели присутствует автокорреляция остатков случайных отклонений.
Проведем графический анализ гетероскедастичность. Построим график, где по оси абсцисс будем откладывать расчетные значения Y, полученные из эмперического уравнения регрессии, а по оси ординат квадраты остатков уравнения е2. График представлен на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1.
Анализируя график, можем предположить непостоянство дисперсий. Т. е. наличие гетероскедастичности в модели.
Проверим наличие гетероскедастичности, используя тест Вайта.
Строим регрессию:
ε2 = a + b1x1 + b11x12 + b2x2 + b22x22+ b12∙x1∙x2
Результаты теста представлены в таблице 1.6.
Таблица 1.5.
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
| Регрессия | 1,91E+10 | 3,82E+09 | 0,582977 | 0,712725 | |
| Остаток | 1,7E+11 | 6,55E+09 | |||
| Итого | 1,89E+11 |
Результаты теста Уайта показывают отсутствие гетероскедастичности, так как при 5% уровне значимости Fфакт<Fтабл. Р-вероятность принятия гипотезы о гетероскедастичности равна 0,713, что больше 0,05.
Для проверки наличия гетероскедастичности воспользуемся тестом Парка. В Excel рассчитаем логарифмы значений e 2, X1 и X2 (см. табл. 1.7).
Таблица 1.7.
| ln e 2 | lnX1 | lnX2 |
| 10,7744 | 6,529565 | 4,51042 |
| 10,5517 | 6,66772 | 4,479494 |
| 8,409718 | 6,815092 | 4,465678 |
| 11,14585 | 6,658139 | 4,448516 |
| 9,067974 | 6,687483 | 4,50976 |
| 7,33105 | 6,701715 | 4,485936 |
| 11,22197 | 6,838405 | 4,505792 |
| 10,00499 | 6,767113 | 4,514041 |
| 9,968207 | 6,745001 | 4,504244 |
| 9,917593 | 6,82622 | 4,533244 |
| 10,36429 | 6,847687 | 4,57821 |
| 6,106645 | 6,726233 | 4,592389 |
| 8,064816 | 6,736374 | 4,641309 |
| 9,76495 | 6,685986 | 4,677584 |
| 11,56032 | 6,812015 | 4,669084 |
| 10,22865 | 6,658011 | 4,693913 |
| 9,619185 | 6,731137 | 4,717069 |
| 9,767794 | 6,753555 | 4,694737 |
| 11,70614 | 6,93644 | 4,703204 |
| 8,777881 | 6,81564 | 4,729509 |
| 9,937458 | 6,805723 | 4,725882 |
| 7,293739 | 6,996224 | 4,703023 |
| 10,59104 | 7,032271 | 4,686658 |
| 12,66729 | 6,92844 | 4,676001 |
| 12,65035 | 6,898715 | 4,676281 |
| 9,052871 | 7,008053 | 4,701752 |
| 4,382021 | 7,034124 | 4,71151 |
| 11,71703 | 6,924416 | 4,712139 |
| 9,476027 | 7,114037 | 4,718856 |
| 10,33405 | 7,124478 | 4,73145 |
| 11,1566 | 7,113549 | 4,736988 |
| 11,7672 | 7,281661 | 4,761746 |
Построим для каждой объясняющей переменной зависимости 
.
Результаты в таблицах 1.8– 1.9.
Таблица 1.8.
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | |
| Y-пересечение | 2,70392 | 13,26605 | 0,203822 | 0,839869 |
| Переменная X 1 | 1,044038 | 1,936061 | 0,539259 | 0,593688 |
Таблица 1.9.
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | |
| Y-пересечение | 3,953056 | 15,22128 | 0,259706 | 0,796865 |
| Переменная X 1 | 1,274538 | 3,285978 | 0,387872 | 0,700849 |
В таблицах 1.8 – 1.9 рассчитана t-статистика для каждого коэффициента b.
Определяем статистическую значимость полученных коэффициентов b. По таблице приложения 2 [1] находим табличное значение коэффициента Стьюдента для уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы v = n – 2 = 29. ta/2; v = t0,025; 29 = 2,364.
Сравнивая рассчитанную t-статистику с табличной, получаем, что ни один коэффициент не является статистически значимым. Это говорит о отсутствии в модели гетероскедастичности.
Результаты теста Парка, подтвердили результаты теста Уайта.
Вывод:
Построенное уравнение регрессии (1.1), хотя и адекватно экспериментальным данным (имеет высокий коэффициент детерминации и значимую F-статистику, все коэффициенты регрессии статистически значимы), не может быть использовано в практических целях, так как оно имеет следующие недостатки: присутствует автокорреляция остатков случайных отклонений, имеется мультиколлинеарность.
Перечисленные недостатки могут привести к ненадежности оценок, выводы по t- и F- статистикам, определяющим значимость коэффициентов регрессии и детерминации, возможно, неверны.
Задание 2.
Используя данные из задания 1, сформулируйте и проверьте гипотезу о наличии на исследуемом временном интервале точки разрыва (имеется сдвиг свободного члена или коэффициента наклона). В случае, если предварительный графический анализ не подтверждает наличия разрыва на временном интервале, примите, что точка разрыва находится посередине.
Решение.
На рисунке 2.1 представлен график зависимости величины валового внутреннего продукта от времени.
Предварительный графический анализ не подтверждает наличие разрыва на рассматриваемом временном интервале, предположим, что точка разрыва находится посередине рассматриваемого интервала.
Найдем зависимости валового внутреннего продукта от времени на каждом из двух интервалов времени, т. е. с 2000 года по 2003 год и с 2004 года по 2007 год. Так же найдем зависимость ВВП от времени на протяжении всего временного интервала.
Y1 – показатель ВВП с 2000 года по 2003 год; Y2 – показатель ВВП с 2004 года по 2007 год; Y – показатель ВВП с 2000 года по 2007 год. Найдем зависимости уравнения регрессии:
Y(t) = a + b∙t, Y1(t) = a1 + b1(t); Y2(t) = a2 + b2(t),
Где t – показатель времени.
Результаты моделирования в Eviews представлены в таблицах 2.1- 2.3 соответственно.
Рисунок 2.1.
Таблица 2.1.
Характеристики уравнения Y(t).
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
| Регрессия | 158,3071 | 1,69E-13 | |||
| Остаток | 48019,47 | ||||
| Итого |
Таблица 2.2.
Характеристики уравнения Y1(t).
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
| Регрессия | 41066,33 | 41066,33 | 3,628866 | 0,077536 | |
| Остаток | 11316,57 | ||||
| Итого | 199498,4 |
Таблица 2.3
Характеристики уравнения Y2(t).
| df | SS | MS | F | Значимость F | |
| Регрессия | 57,11647 | 2,64E-06 | |||
| Остаток | 483328,5 | 34523,47 | |||
| Итого |
Проведем тест Чоу, для оценки структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда.
Введем гипотезу Н0: тенденция изучаемого ряда структурно стабильна.
Остаточная сумма квадратов по кусочно-линейной модели:
Склост = С1ост + С2ост = 158432 + 483329 = 641761.
Сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели:
∆Сост = Сост – Склост = 1440584 – 641761 = 798823.
Так как число параметров в уравнениях Y(t), Y1(t) и Y2(t) одинаково и равно k, то фактическое значение F – критерия находим по формуле:
(2.1)
Fфакт = (798823/2)/(641761/(32 - 2∙2)) = 17,426.
Критическое (табличное) значение критерия Фишера для доверительной вероятности g = 0,95 и числа степеней свободы v 1 = k = 2 и v 2 = n - 2∙k = 32 - 2∙2 = 28: Fкр . = F 0,05; 2; 28 = 3,34. Помощь на экзамене онлайн.
Fфакт > Fтабл – уравнения Y1(t) и Y2(t) описывают не одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их параметров а1 и а2, а так же b1 и b2 соответственно статистически значимы. Следовательно, можно утверждать, что в середине рассматриваемого временного интервала ряд имеет точку разрыва.
Задание 3.
Введите в эконометрическую модель, построенную в задании 1 сезонные фиктивные переменные и с помощью соответствующей модели исследуйте наличие или отсутствие сезонных колебаний.
Решение.
Так как в уравнении (1.1) задачи 1 переменные Х1 и Х2 является статистически значимыми, то для дальнейшего анализа воспользуемся моделью, полученную нами в задании 1:
Y = -1046,49 + 2,0334∙X1 + 1828,83∙X2 (3.1)
(t) (-2,311) (6,181) (3,265)
Значимость коэффициентов уравнения (3.1) высокая. На рисунках 3.1 и 3.3 представлены графики переменных Y, Х1 и Х2 соответственно.
Рисунок 3.1.
Рисунок 3.2.
Рисунок 3.3.
Визуальный анализ графиков переменных Y, Х1 и Х2 позволил выявить некую закономерность – повторения из года в год изменения показателей в определенные промежутки времени, т. е. сезонные колебания.
Обозначим фиктивные квартальные переменные: Qit = 1, если наблюдение t относится к i-му кварталу, Qit = 0 в противном случае (i = 1, 2, 3, 4). Фиктивную переменную Q4 не будем включать в уравнение регрессии, что бы избежать «ловушки».
Данные для экспорта в Eviews представлены в таблице 3.1.
Таблица 3.1.
Данные для экспорта в Eviews.
| t | Y | X1 | X2 | Q1 | Q2 | Q3 |
| 2000q01 | 2228,7 | 685,1 | 90,96 | |||
| 2000q02 | 2361,4 | 786,6 | 88,19 | |||
| 2000q03 | 2464,7 | 911,5 | 86,98 | |||
| 2000q04 | 2364,6 | 779,1 | 85,5 | |||
| 2001q01 | 2154,2 | 802,3 | 90,9 | |||
| 2001q02 | 2192,5 | 813,8 | 88,76 | |||
| 2001q03 | 2233,1 | 90,54 | ||||
| 2001q04 | 2240,9 | 868,8 | 91,29 | |||
| 2002q01 | 2188,7 | 849,8 | 90,4 | |||
| 2002q02 | 2387,2 | 921,7 | 93,06 | |||
| 2002q03 | 2470,5 | 941,7 | 97,34 | |||
| 2002q04 | 2433,8 | 98,73 | ||||
| 2003q01 | 2506,4 | 842,5 | 103,68 | |||
| 2003q02 | 2416,7 | 801,1 | 107,51 | |||
| 2003q03 | 908,7 | 106,6 | ||||
| 2003q04 | 2369,7 | 109,28 | ||||
| 2004q01 | 2580,4 | 838,1 | 111,84 | |||
| 2004q02 | 2564,4 | 857,1 | 109,37 | |||
| 2004q03 | 1029,1 | 110,3 | ||||
| 2004q04 | 2798,4 | 113,24 | ||||
| 2005q01 | 112,83 | |||||
| 2005q02 | 3153,5 | 1092,5 | 110,28 | |||
| 2005q03 | 3440,1 | 1132,6 | 108,49 | |||
| 2005q04 | 3555,7 | 1020,9 | 107,34 | |||
| 2006q01 | 3490,7 | 107,37 | ||||
| 2006q02 | 3123,3 | 1105,5 | 110,14 | |||
| 2006q03 | 3303,8 | 1134,7 | 111,22 | |||
| 2006q04 | 3406,6 | 1016,8 | 111,29 | |||
| 2007q01 | 3387,6 | 1229,1 | 112,04 | |||
| 2007q02 | 3729,4 | 113,46 | ||||
| 2007q03 | 3802,7 | 1228,5 | 114,09 | |||
| 2007q04 | 3688,6 | 1453,4 | 116,95 |
Уравнение регрессии будем искать в виде:
Y = b0 + b1∙X1+ b2∙X2 + d1∙Q1 + d2∙Q2 + d3∙Q3 (3.2)
Результаты моделирования данного уравнения в Eviews представлены в таблице 3.2.
Таблица3.2
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | |
| Y-пересечение | -966,208 | 477,2275 | -2,02463 | 0,05329 |
| Переменная X 1 | 2,173794 | 0,360107 | 6,036523 | 2,24E-06 |
| Переменная X 2 | 16,70785 | 5,894071 | 2,834688 | 0,008757 |
| Переменная X 3 | 4,967329 | 126,3013 | 0,039329 | 0,968928 |
| Переменная X 4 | -77,5262 | 125,196 | -0,61924 | 0,541148 |
| Переменная X 5 | -134,366 | 128,2955 | -1,04732 | 0,304592 |
Получим следующее уравнение регрессии:
Y = -966,21 + 2,1738∙X1 +16,7079∙X2 + 4,9673∙Q1 – 77,526 ∙Q2 – 134,37∙Q3
(t) (-2,025) (6,037) (2,835) (0,039) (-0,619) (-1,047)
(3.3)
Табличное значение критерия Стьюдента, соответствующее доверительной вероятности g = 0,95 и числу степеней свободы v = n – m – 1 = 26; tкр. = t0,025;26 = 2,3788.
Ни одна из квартальных переменных, входящих в уравнение (3.3) не является статистически значимой. Следовательно, можно отметить отсутствие влияния квартальных колебаний на рассматриваемые показатели.
Список использованных источников.
1. Практикум по эконометрике. Под редакцией И. И. Елисеевой - М.: Финансы и статистика., 2007. - 343 с.
2. Эконометрика. Под редакцией И. И. Елисеевой - М.: Финансы и статистика., 2007. - 575 с.
3. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: МГУ, 1999. - 402 с.
4. Орлов А.И. Эконометрика. – М.: Экзамен, 2002.
5. Валентинов В.А. Эконометрика. – М.: «Дашков и Ко», 2006.
6. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика. – М.: Экзамен, 2003.
7. Крамер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.