Задача. Статически неопределимые задачи на растяжение-сжатие.

Статически неопределимые задачи

Статически неопределимая система – система, в которой число неизвестных реакций больше числа уравнений равновесия. Степень статической неопределимости определяется разностью между количеством реакций и количеством уравнений равновесия.

Решение всех статически неопределимых задач основано на том, что к уравнениям равновесия добавляется недостающее количество уравнений упругих деформаций.

Решение статически неопределимых задач начинается с отбрасывания лишних связей, до образования статически определимой системы, которая называется основной системой. За лишние связи можно принимать любые реакции, в зависимости от решаемой задачи. Поэтому заданную систему можно свести к различным основным системам. Основная система должна быть кинематически неизменяема, т.е. не должна иметь возможности перемещаться под нагрузкой.

К основной системе добавляем неизвестные реактивные силы и моменты и уравнения деформаций, накладываемые отброшенными связями. В результате получаем эквивалентную систему. Основная система, эквивалентная заданной статически неопределимой системе (при наличии уравнений деформаций, накладываемых связями), носит название эквивалентной системы.

Далее решение статически неопределимой системы сводится к решению статически определимой эквивалентной системы.

Задача. Статически неопределимые задачи на растяжение-сжатие.

Раскрыть статическую неопределимость (определить реакции) для бруса.

Дано: F = 10 кН, а = 1м, А = 20 см², = 0,4 мм, Е = 2 10¹¹ Па.

Построить эпюру напряжений.

Решение. При приложении нагрузки стержень, удлиняясь, упирается в нижнюю опору, возникают две реакции.

1. Определяем степень статической неопределимости системы. Система один раз статически неопределима: неизвестных реакций – две (R₁ и R₂), а уравнение равновесия – одно ().

2. Выбираем основную систему, отбрасывая нижнее закрепление.

3. Изображаем эквивалентную систему.

4. Составляем уравнение равновесия и уравнение перемещений и решаем их совместно.

Уравнение равновесия. Σ F_y = R₁ – F – 2F + R₂ =0; R₂ = 3F – R₁

Содержание уравнения перемещений заключается в том, что суммарная продольная деформация всех участков бруса равна зазору.

Δℓ_Σ = Δℓ₁ + Δℓ_II + Δℓ_III = δ

Для стержня с двумя заелками δ = 0 и уравнение деформации

Записываем выражение для продольной силы и удлинения каждого участка в отдельности.

I участок 0 х₁ 2а. N = R₁. Δℓ₁ =

II участок 0 х₂ а. N = R₁ - F. Δℓ_II =

II участок 0 х₂ а. N = R₁ - F. Δℓ_II =

III участок 0 х₃ а. N = - R₂. Δℓ_III =

Тогда уравнение перемещений будет: + - = δ

Подставив значение R₂ из уравнения равновесия и приведя к общему знаменателю, получится.

2 R₁ + (R₁ – F) – (3F - R₁ ) = ЕА. Или 4 R₁ – 4F = ЕА

R₁ = F + ЕА = 10 ³ + 10¹¹ 20 10 ^-4 = 14 кН

R₂ = 3F - R₁ = 3 10 10³ – 14 10³ = 16 кН

Статическая неопределимость системы раскрыта (определена реакция лишней связи R₂).

Определяем напряжения во всех трех участках бруса.

5. Определяем напряжения во всех участках бруса.

I участок = = 7 МПа

II участок = = 2 МПа

III участок = = -8 МПа

Переходим к построению эпюры напряжения.

Статически неопределимые задачи на кручение.

Задача 1.

Построить эпюру крутящих моментов для стержня, заделанного с двух сторон. Стержень нагружен сосредоточенными моментами. Определить диаметр стержня.

Дано: М = 10 кНм, α = 0,5 м, [ ] = 80 MПа.

1. В заделках возникают моменты М_А и М_В , которые являются реакциями на действие внешних моментов. Они будут действовать в противоположную сторону. Выполним расчетную схему и нанесем их на схему. Задача является один раз статически неопределима из-за того, что можно использовать только одно единственное уравнение равновесия. Это уравнение для моментов относительно оси «х».

Составляем уравнение равновесия. ΣМх = М + 2М - М_А = 0. М_А + М_В = 3М.

2. Составляем уравнение деформаций. Для таких случаев, когда у стержня две заделки, составление уравнения деформаций заключается в том, что деформация (угол закручивания) сечений одной заделки относительно другой равна нулю. = 0.

Угол закручивания сечения В относительно сечения А можно представить как сумму деформаций. = + Для определения деформаций разбиваем стержень на три участка и составляем уравнение равновесия для крутящего момента и углов закручивания.

I участок 0 х₁ а. Т = М_А. =

II участок 0 х₂ а. T = M_A - M. =

III участок 0 х₃ а. T = M_A – M – 2M. = .

Подставляем в уравнение деформаций выражения для углов закрусивания

+ + = 0.

Откуда определяем момент в заделке А.

М_А = М.

Из уравнения равновесия определяем момент в заделке В.

М_В = М.

Расчет на прочность – подбор сечения. Определив моменты в заделке строим эпюру крутящих моментов.

I участок 0 х₁ а. Т = М.

II участок 0 х₂ а. T = М – M = .

III участок 0 х₃ а. T = М – 3 M = -

Из эпюры следует, что наиболее нагруженным участком является III участок. В каждом его сечении = причем W_p = /16 /

В расчетах на прочность при кручении знак крутящего момента можно опустить, т.к. все материалы одинаково сопротивляются кручению как по часовой стрелке, так и против.

Из условия прочности .

Находим d .

Подставляем числовые значения - d . = 0,1014 м = 101,4 мм.

По ГОСТ 6636 – 69 выбираем d = 100 мм.

При выбранном размере максимальное напряжение = = = 83,33 МПа.

Перегрузка составит = 100% = 100% = 4,166%.

Это не превышает 5% и является допустимым результатом. Поэтому считаем d = 100 мм подходит для работы конструкции при заданных условиях эксплуатации.