Лекция №8
Обработка результатов измерений
Прямые однократные и многократные измерения.
1. Прямые однократные измерения.
В общем случае задача оценки погрешности полученного результата обычно осуществляется на основе сведений о пределе допускаемой основной погрешности средства измерения 
(по нормативно-технической документации на используемые средства измерений) и известным значениям дополнительных погрешностей 
от воздействия влияющих величин. Максимальное значение суммарной погрешности результата измерения (без учета знака) можно найти суммированием составляющих по абсолютной величине:
Более реальную оценку погрешности можно получить статистическим сложением составляющих погрешности:
где 
- граница i-й неисключенной составляющей систематической погрешности; k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р = 0,95, коэффициент k =1,11); m - число не исключённых составляющих.
Результат измерения записывается по первой форме записи результатов:
где 
- результат однократного измерения; 
- суммарная погрешность результата измерений; Р - доверительная вероятность (при Р = 0,95 может не указываться).
При проведении измерений в нормальных условиях можно считать
2. Прямые многократные измерения.
Точно оценить действительное значение измеряемой величины можно лишь путем ее многократных измерений и соответствующей обработки их результатов. Правильно обработать полученные результаты наблюдений – значит получить наиболее точную оценку действительного значения измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.
В процессе обработки результатов наблюдений необходимо последовательно решить следующие основные задачи:
- определить точечные и интегральные оценки закона распределения результатов измерений по формулам:
где D(x) – точечная оценка дисперсии;
- исключить «промахи» (по одному из критериев);
- устранить систематические погрешности измерений;
- оценить закон распределения по статистическим критериям (используются критерии χ2 - Пирсона, Колмогорова, составной);
- определить доверительные границы не исключённого остатка систематической составляющей, случайной составляющей и общей погрешности результата измерения;
- записать результат измерения.
Оценивание погрешности косвенных измерений. Основные принципы и этапы расчетов. ГОСТы на обработку результатов.
Погрешности косвенных измерений
Оценка погрешностей, возникающих при косвенных измерениях, основывается на следующих предположениях:
1. Относительные погрешности величин, полученных прямыми измерениями и участвующих в расчете искомой величины, должны быть малы по сравнению с единицей (на практике они не должны превышать 10%).
2. Для погрешностей всех величин, участвующих в расчете, принята одна и та же доверительная вероятность. Эту же доверительную вероятность будет иметь и погрешность искомой величины.
3. Наиболее вероятное значение искомой величины получается, если для ее расчета используются наиболее вероятные значения исходных величин, т.е. их средние арифметические значения.
Погрешность в случае одной исходной величины.
Абсолютная погрешность. Пусть искомая величина y, измеряемая косвенно, зависит только от одной величины a, полученной прямым измерением. Границы интервала, в котором с заданной вероятностью лежит величина a, определяются средним арифметическим значением 
и полной абсолютной погрешностью 
a величины a. Это значит, что значение a может лежать внутри интервала с границами ± a.
При косвенном измерении для величины y (a) такие границы будут определяться ее наиболее вероятным значением 
= y () и погрешностью y, т.е. значения y лежат внутри интервала с границами ± y. Верхней границей для y (при монотонном возрастании) будет значение, соответствующее верхней границе a, т.е. значение + y = y (
+ а). Таким образом, абсолютная погрешность y величины y имеет вид приращения функции y(a), вызванного приращением ее аргумента a на величину a его абсолютной погрешности. Следовательно, можно воспользоваться правилами дифференциального исчисления, согласно которому при малых значениях a приращение y можно приближенно выразить в виде
(1)
Здесь 
- производная по a функции y(a) при a = .
Таким образом, абсолютная погрешность окончательного результата может быть вычислена с помощью формулы (1), причем доверительная вероятность соответствует той доверительной вероятности, которую имеет a.
Относительная погрешность. Чтобы найти относительную погрешность значения y, поделим (1) на y и примем во внимание, что
представляет собой производную по a натурального логарифма y. В результате получится
Если в это выражение подставить a = и y = , то его значение и будет относительной погрешностью величины y.
Для обработки результатов измерений используется ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений».
8.3. Результат измерения и оценка его среднего квадратического отклонения:
1. Способы обнаружения грубых погрешностей должны быть указаны в методике выполнения измерений. Если результаты наблюдений можно считать принадлежащими к нормальному распределению, грубые погрешности исключают.
2. За результат измерения принимают среднее арифметическое результатов наблюдений, в которые предварительно введены поправки для исключения систематических погрешностей.
3. Среднее квадратическое отклонение σ результата наблюдения оценивают согласно НТД.
4. Среднее квадратическое отклонение 
результата измерения оценивают по формуле
,
где хi - i -й результат наблюдения;
- результат измерения (среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений);
n - число результатов наблюдений;
- оценка среднего квадратического отклонения результата измерения.
8.4. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения:
1. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения в соответствии с настоящим стандартом устанавливают для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению. Если это условие не выполняется, методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.
1.1. При числе результатов наблюдений n >50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению по НТД предпочтительным является один из критериев: χ2 Пирсона или ω2 Мизеса - Смирнова.
1.2. При числе результатов наблюдений 50> n >15 для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтительным является составной критерий.
При числе результатов наблюдений n ≤15 принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. При этом нахождение доверительных границ случайной погрешности результата измерения по методике, предусмотренной настоящим стандартом, возможно в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.