Простейшие методы неопределенного интегрирования

Неопределённый интеграл

Интегрирование является обратной операцией по отношению к дифференцированию, так же как деление является обратной операцией по отношению к умножению, логарифмирование - обратной операцией по отношению к потенцированию и т.д.

Определение

Пусть в некоторой области определены две функции f (x) и F (x). Если выполнено равенство

F' (x) = f (x),

то f (x) называется производной от функции F (x), a F (x) - первообразной относительно функции f (x)

Пример 1. Найти первообразную F (x) функции f (x) = 2x и построить графики

Решение. Из таблицы производных находим, что F (x)= x². Действительно, (x²)^’= 2x. Ниже на рисунке 1 представлены требуемые графики

Рис. 1

Ясно, что такая первообразная не единственна. Например, функция x²+5 также является первообразной относительно функции 2x. Более того, всякая функция вида

F (x) = x² + С является первообразной относительно 2x, т.к. (х² + С) ' = 2х

Итак, справедливо утверждение:

Любая функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную

Определение:

Неопределенным интегралом от функции f (x) называется множество первообразных:

∫ f (x) dx = F (x) + С

где F' (x) = f (x), С = const, х - переменная интегрирования, f (x) - подинтегральная функция, f (x) dx – подинтегральное выражение

Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

Действительно, по определению

что и требовалось доказать

2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен самой функции с точностью до произвольной постоянной

В самом деле,

3. Постоянная выносится из под знака интеграла

Действительно, используя свойство 2, получаем

4. Интеграл суммы равен сумме интегралов с точностью до произвольной постоянной

В самом деле,

Для нахождения интегралов сложных функций удобно пользоваться заранее составленной таблицей наиболее употребительных в той или иной сфере научной деятельности интегралов простейших функций. Тогда поиск первообразной сводится к сведению заданного интеграла к одному или нескольким табличным интегралам

Таблица производных и интегралов