Бесконечно-малые функции и их свойства.

Определение 7. Функция называется бесконечно малой в точке , если для любого существует такое, что для всех , и выполняется , то есть

Замечание. Одна и та же функция при определенных значениях x является БМФ, а при других значениях – не является. Так как , то есть бесконечно малая функция при , и не является БМФ при , так как .

Замечание. Аналогично можно дать определения бесконечно малых функций при , , , , .

Приведем некоторые теоремы о бесконечно малых функциях, относящиеся к важным свойствам БМФ.

Теорема 1. (Основная теорема о бесконечно малых функциях).

Если функция имеет предел, то ее можно представить как сумму постоянной, равной ее пределу, и бесконечно малой функции.

Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при есть бесконечно малая функция.

Теорема 3. Произведение ограниченной функции при на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .

Теорема 4. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при есть бесконечно малая функция.

Важную роль в математическом анализе играют бесконечно большие функции.

Определение 8. Функция называется бесконечно большой (ББФ) при , если для сколь угодно большого числа существует такое, что для всех , таких, что при выполняется .

Обозначение .

Свойства бесконечно больших функций идентичны свойствам бесконечно малых функций.

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями имеется следующая связь:

или .

Доказательство следует из определения бесконечно малых (бесконечно больших) функций. (Рекомендуется доказать самостоятельно). Такая связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями позволяет использовать естественную символическую запись, используемую для сокращения: для любого положительного числа а >0 пишут

Отметим, что на бесконечно большие функции свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над пределами, не всегда переносятся.

Например, если

то и

С другой стороны ничего нельзя утверждать о наличии или отсутствии предела разности функций, то есть

В таких случаях говорят о наличии неопределенности вида ∞─∞.

Для вычисления пределов функций применяется правило предельного перехода:

чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение.

Способы вычисления пределов.

I. Непосредственная подстановка.

Пример. .