ГЕНЕРАЛЬНАЯ И ВЫБОРОЧНАЯ СОВОКУПНОСТИ
Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.
Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным - контролируемый размер детали.
Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.
Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n =100.
ПОВТОРНАЯ И БЕСПОВТОРНАЯ ВЫБОРКИ. РЕПРЕЗЕНТАТИВНАЯ ВЫБОРКА
При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бесповторные.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.
Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).
В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.
Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается. В предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.
СПОСОБЫОТБОРА
На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:
1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся: а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор.
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами. Например, для извлечения n объектов из генеральной совокупности объема N поступают так: выписывают номера от 1 до N на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку возвращают в пачку, и процесс повторяют, т. е. карточки перемешивают, наугад вынимают одну из них и т. д. Так поступают n раз; в итоге получают простую случайную повторную выборку объема n.
Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной. При большом объеме генеральной совокупности описанный процесс оказывается очень трудоемким. В этом случае пользуются готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке. Для того чтобы отобрать, например, 50 объектов из пронумерованной генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают подряд 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами.
Если бы оказалось, что случайное число таблицы превышает число N, то такое случайное число пропускают. При осуществлении бесповторной выборки случайные числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить.
Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.
Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т. д. Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки. Например, если отбирают каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами. В таком случае следует устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из двадцати обточенных.
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.
Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРКИ
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка x1, x2, x3,... xn, причем x1 наблюдалось n1 раз, х2 - n2 раз, xk - nk раз.
Определение 1. Упорядоченную по величине последовательность выборочных значений х(1)< х(2)<... < х(n) называют вариационным рядом.
Числа наблюдений ni называют частотами.
Сумма всех частот åni = n составляет объем выборки.
Отношение частот, к объему выборки ni/n = Wi называют относительными частотами.
Действие упорядочения по величине членов выборки называют ранжировкой статистических данных.
Вариационный ряд — начальная форма исследования статистических данных.
Определение 2. Вариационный ряд называют дискретным, если произвольные его варианты отличаются на постоянную величину, и непрерывным (интервальным), если варианты могут отличаться один от другого на как угодно малую величину.
Определение 3. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им относительных частот.
Статистическое распределение выборки в случае дискретного вариационного ряда удобно подавать в виде таблицы.
Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности замкнутых справа полуинтервалов и соответствующих им частот и/или относительных частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).
Что бы подчеркнуть отмеченные различия в первом случа говорят про точечное, а во втором - про интервальное статистическое распределение выборки.
Пример. Во время исследования качественного признака Х из генеральной соокупности была получена выборка:
4, 3, 6, 4, 7, 2, 5, 1, 2, 5, 4, 4, 3, 5, 6, 3, 4, 1, 3, 4.
Найти объем выборки, построить вариационный ряд выборки и ее статистическое распределение, а также написать распределение относительных частот.
Решение.
Поскольку выборка состоит из 20 значений, то объем выборки n = 20.
Построим вариационный ряд выборки:
1,1, 2, 2, 3, 3, 3, 3,4, 4, 4, 4,4,4, 5, 5, 5, 6, 6, 7.
В данной выборке всего семь разных значений, то есть вариант:
1, 2, 3,4, 5, 6, 7.
Найдем их частоты:
n1=2; n2=2; n3=4; n4=6; n5=3; n6=2; n7=1.
Запишем искомое статистическое распределение.
| xi | |||||||
| ni |
Определим относительные частоты вариант по формуле Wi =ni/n.
W1 = 2/20 = 0,1,
W2= 2/20 = 0,1,
W3 = 4/20 = 0,2,
W4 = 6/20 = 0,3,
W5 = 3/20 = 0,15,
W6 = 2/20 = 0,1,
W7 = 1/20 = 0,05.
Напишем распределение относительных частот:
| xi | |||||||
| Wi | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,15 | 0,1 | 0,05 |
Контроль: 0,1+0,1+0,2+0,3+0,15 + 0,1 + 0,05=1.