Наименьшее и наибольшее значения функции




Функция , определённая на множестве Х, принимает на этом множестве наименьшее значение в точке , если точка и для любого . Обозначение:

Функция , определённая на множестве Х, принимает на этом множестве наибольшее значение в точке , если точка и для любого . Обозначение:

58. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых функция 1)на отрезке принимает наибольшее значение, равное 5.

Решение. Представим исходную квадратичную функцию в виде

Замечание. Квадратичная функция где на промежутке возрастает, а на промежутке убывает.

Рассмотрим квадратичную функцию при различных расположениях точки относительно отрезка .

Пусть наибольшее значение функции на отрезке .

1) Если то функция на отрезке убывает и на этом отрезке она принимает наибольшее значение в точке Тогда

Наибольшее значение функции равно 5, если

Итак, удовлетворяет условию задачи.

2) Если то функция на промежутке возрастает, а на промежутке – убывает. Поэтому на отрезке функция принимает наибольшее значение в точке Тогда

Наибольшее значение функции равно 5, если

Так как последняя система не имеет решений, то при не существуют значений параметра, удовлетворяющих условию задачи.

3) Если то функция на отрезке возрастает и на этом отрезке она принимает наибольшее значение в точке Тогда

Наибольшее значение функции равно 5, если

Итак, удовлетворяет условию задачи.

Ответ.

59. Найдите все значения параметра при каждом из которых наименьшее значение функция

на отрезке принимает наибольшее значение.

Решение. Так как функция непрерывна на отрезке , то существует точка или точки, в которых функция принимает наименьшее значение. Так как функция чётная и область, на которой рассматривается функция, симметрична относительно начала координат, то наименьшее значение функции на отрезке совпадает с наименьшим значением функции на

отрезке .

Обозначим через где

Найдём производную функции . Имеем

Корнями уравнения являются точки: , ,

Критической точкой функции на отрезке является точка (точка на отрезке не является критической, точка ). Очевидно,

Критическая точка разбивает отрезок на промежутки . Определим знаки производной на каждом промежутке.

Отметим: так как то знак производной зависит от знака При определении знака воспользуемся тем, что функция возрастает, если .

Из рисунка 16 делаем вывод: функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке . Поэтому в точке функция . на отрезке принимает наименьшие значение, равное

Найдём Имеем

Итак,

Так как наименьшее значение функции на отрезке , то

Итак,

Надо найти значения , при котором функция на отрезке принимает наибольшее значение. Для этого найдём производную . Имеем

Итак,

Так как на отрезке , то на этом отрезке

Тогда на отрезке функция возрастает. Поэтому

наибольше значение функция принимает в точке

Итак, в точке наименьшее значение функция на отрезке , если является наибольшим.

.Ответ.

60. Найдите все значения параметра а, при которых наибольшее значение функции меньше 5.

Решение. 1. Так как функция непрерывна на множестве R (как сумма непрерывных функций) и то существует точка или точки, в которых функция принимает наибольшее значение.

1. Найдём наибольшее значение функции .

1)Используя определение абсолютной величины, получим

2) Найдём производную функции . Имеем

3) Из уравнения найдём критическую точку которая принадлежит интервалу

4) Критическими точками функции являются точки, в которых не существует. Это точки: .

Критические точки разбивают числовую прямую на интервалы , на каждом из которых производная сохраняет знак. Знаки функции на каждом интервале указаны на рисунке 17. Из рисунка 17 делаем вывод: функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке . Поэтому в точке функция , которая непрерывна на интервале , принимает наибольшее значение, равное

Наибольшее значение функции меньше 5, если Итак, удовлетворяют условию задачи.

Ответ. .

61. Найдите все значения параметра а, при которых наименьшее значение функции больше .

Решение. 1. Так как функция непрерывна на множестве R (как сумма непрерывных функций) и то существует точка или точки, в которых функция принимает наименьшее значение.

1)Используя определение абсолютной величины, получим

2) Найдём производную функции . Имеем

2. Рассмотрим производную при различных значениях а.

а) Если то функция имеет одну критическую точку , в которой не существует. Из рисунка 18 делаем вывод: функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке . Поэтому в точке функция непрерывная на интервале принимает наименьшее значение, равное где

Наименьшее значение функции больше , если

Итак, удовлетворяют условию задачи.

б) Если , то функция имеет две критические точки: , в которой не существует и в которой . Критические точки и разбивают числовую прямую на интервалы , на каждом из которых производная сохраняет знак. Знаки функции на каждом интервале указаны на рисунке 19. Из рисунка 19 делаем вывод: функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке . Поэтому в точке функция , которая непрерывна на интервале принимает наименьшее значение, равное где

Наименьшее значение функции больше , если

Итак, удовлетворяют условию задачи.

Ответ. .

62. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется для всех .

Решение. Рассмотрим функцию .

Неравенство выполняется для всех , тогда и только тогда когда наименьшее значение функции неотрицательное.

Так как непрерывная функция (сумма непрерывных функций) и то функция принимает наименьшее значение. Наименьшее значение функция принимает хотя бы в одной из критических точек.

1. Найдём наименьшее значение функции .

1)Используя определение абсолютной величины, получим

а) Найдём производную. Имеем

б) Из уравнения находим критические точки: (точка не удовлетворяет условию )

в) Критическими точками функции являются точки, в которых

не существует. Это точки: ,

2. Найдём значения функции в критических точках. Имеем

Замечание. Наименьшее из чисел будет не меньше k, тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел будет не меньше k.

Так как наименьшее значение функция может принимать хотя бы в одной из критических точек, то значения параметра а, при которых наименьшее значение функции не меньше нуля, найдём из системы (следует из замечания)

Ответ.

63. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство имеет хотя бы одно решение.

Решение. Рассмотрим функцию .

Неравенство имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции отрицательное.

Так как непрерывная функция (сумма непрерывных функций) и то функция принимает наименьшее значение. Наименьшее значение функция принимает хотя бы в одной из критических точек.

1. Найдём наименьшее значение функции .

1)Используя определение абсолютной величины, получим

2) Найдём производную функции . Имеем

3) Из уравнения находим критические точки: и

4) Критической точкой функции является точка, в которой не

существует. Это точка .

5) Найдём значения функции в критических точках. Имеем

Замечание. Наименьшее из чисел будет меньше k, тогда и только тогда, когда хотя бы одно из этих чисел меньше k.

2. Так как наименьшее значение функция может принимать хотя бы в одной из критических точек, то значения параметра а, при которых наименьшее значение функции меньше 3, найдём из совокупности

Из последней совокупности следует ответ.

Ответ.

64. Найдите все значения параметра а, при которых имеет хотя бы одно решение уравнение .

Решение. 1. Если то исходное уравнение принимает вид . Так как последнее уравнение имеет два корня (), то удовлетворяет условию задачи.

2. Пусть Рассмотрим функцию

Так как то если Тогда областью определения функции является интервал

Уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда наименьшее значение функции неположительное.

Так как непрерывная функция (сумма непрерывных функций)

и то функция принимает наименьшее значение. Наименьшее значение функция принимает хотя бы в одной из критических точек.

Найдём производную функции . Имеем

Из уравнения находим критические точки:

где

Найдём значения функции в критических точках. Имеем

где

Наименьшее значение функции будет неположительным тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел где неположительное, то есть, когда

Отметим: так как то .

Из последней совокупности и так как уравнение (1) имеет решение, если следует ответ.

Ответ. .

Упражнения

1. Решите уравнения 1)

2)

3) .

4) 5) .

6) 7)

8) .

9) .

10) .

Ответы. 1) , если ; нет решений, если .

2) где ; нет корней, если

3) где если где нет корней, если где 4) Решений нет, если

5) Корней нет, если , если если ; если . 6) Корней нет.

7) 8). уравнение не имеет решений, если 9) уравнение не имеет решений, если 10) уравнение не имеет решений, если

2. 1) Найдите все значения параметра а, при которых имеет нечётное число решений уравнение 1) .

2)

Ответы. 1) 2)

3. Найдите все значения параметра а,при которых имеет единственное решение уравнение 1) .2) .

Ответы. 1) . 2) алюбое иррациональное число.

4. Найдите все значения параметра а, при которых имеет решение уравнение

Ответ. Один корень, если

5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет три корня.

Ответ. Три корня, если

6. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число корней уравнения не меньше числа корней уравнения

Ответ.

7. Определите число корней уравнения 1) .

2)

Ответы. 1) Нет корней, если . один корень, если два корня, если 2) Один корень, если нет корней, если

8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число корней уравнения не меньше числа корней уравнения

Ответ.

9. Найдите значения параметра а,при которых не имеет решений уравнение

Ответ.

10. Найдите наименьшее значения параметра а, при котором уравнение на интервале имеет хотя бы одно решение.

Ответ.

11. В зависимости от p найдите все значения параметра а, для которых уравнение имеет три различных корня.

Ответ. Если то если то

12. Нечётная периодическая функция , с периодом , определённая на всей числовой прямой, на отрезке задана уравнением . Найдите все значения параметра а, при

которых уравнение имеет ровно 6 корней.

Ответ.

13. Чётная периодическая функция , с периодом , определённая на всей числовой прямой, на отрезке задана уравнением . Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно 4 корня.

Ответ.

14. Решите неравенство 1)

2) .

Ответы. 1) Если то . если то неравенство не имеет решений. 2) , если ; нет решений, если

15. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение неравенство 1) .

2)

Ответы. 1) . 2) .

16. Найдите все значения параметра а, при которых имеет решение неравенство

Ответ. Один корень, если нет корней, если

17. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется для всех .

Ответ.

18. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство имеет хотя бы одно решение.

Ответ.

19. Решите систему уравнений

1)

2)

3) .

Ответы. 1) , если ; нет решений, если . 2) Если то . если то решений нет.

3) Если то решения если то решение

если , то система решений не имеет.

20. Найдите все значения параметра а, при которых имеет единственное решение система

1) 2)

3)

Ответы. 1) . 2) . 3)

21. Найдите все значениях параметра а, при которых система

имеет ровно четыре различных решения.

Ответ.

22. Найдите все значениях параметра а, при которых имеет два решение система

Ответ. .

23. Решите систему неравенств

Ответ. Если то

24. Найдите все значениях параметра а, при которых имеет единственное решение система неравенств

Ответ.

25. При каких значениях параметра а область определения функции есть множество R?

Ответ. а .

26. Найдите все значения параметра а, при которых область определения функции содержит ровно одно целое число.

Ответ.

27. Найдите при различных значениях параметра а множество значений функции 1) 2)

Ответы 1) Если то ; если то . 2). Если то ; если то если то .

28. Найдите все значения параметра и , при которых множество значений функции не содержит ни одного числа, делящегося на 3.

Ответ.

29. Найдите все значения параметра а, при которых множество значений функции принадлежит отрезку для всех значений х.

Ответ.

30. Найдите все значения параметра а, при которых функция является периодической.

Ответ. Если то функция периодическая с главным периодом ; если то функция периодическая, но не имеет главного периода.

31. Пусть и – корни квадратного уравнения

.

Найдите все значения с, при каждом из которых для любого значения



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-13 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: