Элементарные способы нахождения предела функции иногда оказываются трудоемкими. В ряде случаев целесообразно использовать правило Лопиталя.
Пусть в некоторой окрестности и точки (кроме, быть может, самой точки ) функции и дифференцируемы и . Если или , т.е частное в точке представляет собой неопределенность вида или , то , если предел в правой части этого равенства существует. Другими словами, суть правила Лопиталя состоит в том, что для неопределенностей вида или вычисление предела отношения функций, можно заменить, при соблюдении указанных требований,
вычислением предела отношения их производных, что в большинстве случаев значительно проще.
Если предел отношения производных снова приводит к одному из указанных неопределенностей, то можно применить правило Лопиталя еще раз, т.е исследовать отношение вторых производных и т.д. При этом, прежде чем исследовать отношение вторых, третьих и т.д. производных, нужно максимально упростить выражения, полученные на предыдущем этапе.
В случае неопределенности вида или следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности или и далее воспользоваться правилом Лопиталя. В случае неопределенности вида или или следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма. В ряде случаев целесообразно сочетать правило Лопиталя с приемами вычисления пределов рассмотренными в пунктах 3-8.
Пример 13. Найти
Решение.
=
Здесь правило Лопиталя применили два раза.
Пример 14. Найти
Решение.
=
Пример 15. Найти
Решение.
=
=
Пример 16. Найти
Решение.
Сначала устанавливаем, что имеет место случай . Затем логарифмируем функцию и ищем предел ее логарифма.
=
Итак
Библиография
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.И. Краткий курс высшей математики.-М: Наука, 1986.-576с.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том I-М.: Наука, 1978.-456с.
3. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике.-М.: Наука, 1987.-352с.
4. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.-М.: Высшая школа,1998.-352с.
Приложение А
Расчетные задания
Задача 1. Доказать, что (указать ).
1.1 ,
1.2 ,
1.3 ,
1.4 ,
1.5 ,
1.6 ,
1.7 ,
1.8 ,
1.9 ,
1.10 ,
1.11 ,
1.12 ,
1.13 ,
1.14 ,
1.15 ,
1.16 ,
1.17 ,
1.18 ,
1.19 ,
1.20 ,
Продолжение приложения А
Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
Продолжение приложения А
Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
Продолжение приложения А
Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
Продолжение приложения А
4.19
4.20
Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
Продолжение приложения А
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
Задача 6. Доказать (найти , что:
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
Продолжение приложения А
Продолжение приложения А А
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
Задача 7. Вычислить пределы функций.
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7 7.8
7.9
7.10
Продолжение приложения А
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
7.20
Задача 8. Вычислить пределы функций.
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
Продолжение приложения А
8.13
8.14
8.15
8.16
8.17
8.18
8.19
8.20
Задача 9. Вычислить пределы функций.
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
Продолжение приложения А
9.15
9.16
9.17
9.18
9.19
9.20
Задача 10. Вычислить пределы функций.
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
10.10
10.11
10.12
10.13
10.14
Продолжение приложения А
10.15
10.16
10.17
10.18
10.19
10.20
Задание 11. Вычислить пределы функций.
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
11.10
11.11
11.12
11.13
11.14
Продолжение приложения А
11.15
11.16
11.17
11.18
11.19
11.20
Задача 12. Вычислить пределы функций.
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
12.10
12.11
12.12
12.13
12.14
12.15
12.16
12.17
12.18
Продолжение приложения А
12.19
12.20
Задача 13. Вычислить пределы функций.
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
13.9
13.10
13.11
13.12
13.13
13.14
13.15
13.16
13.17
13.18