Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей




Элементарные способы нахождения предела функции иногда оказываются трудоемкими. В ряде случаев целесообразно использовать правило Лопиталя.

Пусть в некоторой окрестности и точки (кроме, быть может, самой точки ) функции и дифференцируемы и . Если или , т.е частное в точке представляет собой неопределенность вида или , то , если предел в правой части этого равенства существует. Другими словами, суть правила Лопиталя состоит в том, что для неопределенностей вида или вычисление предела отношения функций, можно заменить, при соблюдении указанных требований,

 

вычислением предела отношения их производных, что в большинстве случаев значительно проще.

Если предел отношения производных снова приводит к одному из указанных неопределенностей, то можно применить правило Лопиталя еще раз, т.е исследовать отношение вторых производных и т.д. При этом, прежде чем исследовать отношение вторых, третьих и т.д. производных, нужно максимально упростить выражения, полученные на предыдущем этапе.

В случае неопределенности вида или следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности или и далее воспользоваться правилом Лопиталя. В случае неопределенности вида или или следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма. В ряде случаев целесообразно сочетать правило Лопиталя с приемами вычисления пределов рассмотренными в пунктах 3-8.

Пример 13. Найти

Решение.

 

=

 

 

 

Здесь правило Лопиталя применили два раза.

 

Пример 14. Найти

Решение.

=

 

Пример 15. Найти

Решение.

=

 

=

Пример 16. Найти

Решение.

Сначала устанавливаем, что имеет место случай . Затем логарифмируем функцию и ищем предел ее логарифма.

=

 

Итак

 

 

Библиография

 

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.И. Краткий курс высшей математики.-М: Наука, 1986.-576с.

 

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том I-М.: Наука, 1978.-456с.

 

3. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике.-М.: Наука, 1987.-352с.

4. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике.-М.: Высшая школа,1998.-352с.

 

Приложение А

Расчетные задания

 

Задача 1. Доказать, что (указать ).

 


1.1 ,

 

1.2 ,

 

 


1.3 ,

 

1.4 ,


1.5 ,

 

1.6 ,


1.7 ,

 

1.8 ,


1.9 ,

 

1.10 ,


1.11 ,

 

1.12 ,


1.13 ,

 

1.14 ,


1.15 ,

1.16 ,


 


1.17 ,

 

1.18 ,


1.19 ,

 

1.20 ,


 

Продолжение приложения А

Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.

 


2.1

 

2.2


2.3

 

2.4


2.5

 

2.6


2.7

 

2.8


2.9

 

2.10


2.11

 

2.12


2.13

 

2.14


2.15

2.16


 


2.17

 

2.18


 

2.19

 

2.20


 

Продолжение приложения А

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

 


3.1

 

3.2


3.3

 

3.4


3.5

 

3.6


3.7

 

3.8


3.9

3.10


3.11

 

3.12


 

3.13

 

 

3.14


3.15

 

3.16


3.17

3.18


 

3.19

 

3.20


 

Продолжение приложения А

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

 


4.1

 

4.2

 


4.3

 

4.4


4.5

 

4.6


4.7

 

4.8


 


4.9

4.10


 


4.11

 

4.12

 


4.13

 

4.14


 

 


4.15

4.16


4.17

4.18


Продолжение приложения А

4.19

4.20


Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

 


5.1

 

5.2


 


5.3

 

5.4


5.5

5.6


5.7

 

5.8


5.9

5.10


 

5.11

 

5.12


 

5.13

 

 

 

Продолжение приложения А

 

5.14

 

 


5.15

 

5.16


 


5.17

 

5.18


 

5.19

 

5.20


 

Задача 6. Доказать (найти , что:

 


6.1

6.2


 


6.3

 

6.4


6.5

6.6


6.7

6.8


Продолжение приложения А


Продолжение приложения А А


6.9

6.10


6.11

 

6.12


 


6.13

6.14


6.15

6.16


6.17

6.18


6.19

6.20


Задача 7. Вычислить пределы функций.


7.1

7.2


7.3

7.4


7.5

7.6


7.7 7.8


7.9

7.10

Продолжение приложения А


7.11

7.12


7.13

7.14


7.15

7.16


 

7.17

7.18


7.19

7.20


Задача 8. Вычислить пределы функций.


8.1

8.2


8.3

8.4


8.5

8.6


8.7

8.8


8.9

8.10


8.11

8.12

 


Продолжение приложения А


8.13

8.14


8.15

8.16


8.17

8.18


8.19

 

8.20


 

Задача 9. Вычислить пределы функций.


9.1

9.2


9.3

9.4


9.5

9.6


9.7

9.8


9.9

9.10


9.11

9.12


9.13

9.14

 


Продолжение приложения А


9.15

9.16


9.17

9.18


9.19

9.20


Задача 10. Вычислить пределы функций.

 


10.1

10.2


10.3

10.4


 


10.5

10.6


10.7

10.8


10.9

10.10


10.11

10.12


10.13

10.14

 

 


Продолжение приложения А


10.15

10.16


10.17

10.18


10.19

 

10.20

 


Задание 11. Вычислить пределы функций.


11.1

11.2


11.3

11.4


11.5

11.6


 


11.7

11.8


11.9

11.10


11.11

11.12


11.13

11.14

 

 


Продолжение приложения А


11.15

11.16


11.17

11.18


11.19

11.20


Задача 12. Вычислить пределы функций.


12.1

12.2


12.3

 

12.4


12.5

12.6


12.7

12.8


12.9

12.10


 

12.11

12.12


12.13

12.14


12.15

12.16


12.17

12.18

 


Продолжение приложения А


12.19

12.20


Задача 13. Вычислить пределы функций.

 


13.1

13.2


13.3

13.4


13.5

13.6


13.7

13.8


13.9

13.10


13.11

13.12


13.13

13.14


 


13.15

 

13.16


13.17

13.18

 




Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: