Другой способ решения уравнений основывается на том, что если 
, то
Таким образом, необходимо отделить действительные и мнимые части уравнения, приравнять их и решить полученную систему уравнений.
Пример 6. Решить уравнение 
.
Решение. Пусть 
Тогда уравнение имеет вид: 
. Отделив действительные и мнимые части в обеих частях равенства, получим:
Решим уравнение 
Оно эквивалентно совокупности двух систем:
или 
или 
Оба корня 
удовлетворяют условию 
. Возвращаясь к системе, получим: 
или 
. Вспоминая, что 
, получим ответ.
Ответ: 
.
Линии и области на комплексной плоскости.
В заключение исследуем геометрический смысл уравнений и неравенств с комплексными числами. Так как каждое комплексное число представляет собой точку на комплексной плоскости, то уравнение с комплексными числами задает на плоскости линию. Укажем некоторые из них.
. (а)
Так как 
есть расстояние между точками 
и 
, то данная линия определяется как множество точек , расстояние от каждой из которых равно 
. Это – уравнение окружности с центром в точке 
и радиуса 
.
То же самое можно получить, положив 
и подставив эти точки в уравнение. Т. к. 
, то 
, или 
- уравнение окружности.
. (б)
Это – уравнение луча, выходящего из точки (0,0) под углом 
к положительному направлению оси Ox. При этом, так как для точки 
аргумент не определен, то точка (0,0) является «выколотой».
Пример 7. Изобразить на комплексной плоскости линию, задаваемую уравнением 
.
Решение: Пусть 
. Тогда 
и уравнение примет вид:
. Выделим полный квадрат: 
. Получим: 
, или 
- уравнение окружности с центром в точке (-1,0) и радиуса 1.
Неравенство с комплексными числами задает на плоскости область, ограниченную соответствующей линией.
а). 
задает на плоскости внутренность окружности (см рис 4 а).)
б). 
задает на плоскости внешнюю часть окружности (см рис 4 б).)
в). 
задает на плоскости внутренность угла, ограниченного лучами
и 
. (см. рис. 4 в).)
Рис. 4а) Рис. 4б)
Рис. 4в)
Пример 8. Изобразить на плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств 
.
Первое неравенство задает на плоскости внешнюю область окружности с центром в точке (1,1) и радиуса 3, вторая область задает внутренность угла со сторонами 
и 
. Общая область – пересечение этих двух областей (см. рис 5.).
Рис. 5
Контрольные задания
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием для учащихся 10 классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. Для зачета нужно набрать не менее 30 баллов. В решениях следует делать необходимые пояснения и рисунки, дающие представления о ходе Ваших рассуждений.
М.10.1.1. Записать комплексные числа в алгебраической и тригонометрической форме, отметить их на комплексной плоскости (5 баллов за пример).
а). 
, б). 
, в). 
М.10.1.2. Выполнить действия. Ответ записать в алгебраической форм (5 баллов за пример).
а). 
б). 
в). 
М.10.1.3. Вычислить все различные корни их комплексного числа и нанести их на комплексную плоскость (5 баллов за пример).
а). 
б). 
в). 
г). 
М.10.1.4. Решить уравнения (10 баллов за пример).
а). 
б). 
в). 
г). 
М.10.1.5. При каких значениях параметра a уравнение имеет комплексные корни? (10 баллов за пример).
а). 
б). 
Найти эти корни при каком-либо значении параметра.
М.10.1.6. Какое множество точек на комплексной плоскости задается условием?? (10 баллов за пример).
а). 
б). 
в). 
г). 
д). 
е). 
Изобразить найденное множество на комплексной плоскости.