ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

Если { x_n } бесконечно малая последовательность, то .

Если , то , где { a_n }– бесконечно малая последовательность.

Если и ,то:

;

;

;

, если ;

;

.

Если для любого n , то .

Если для любого n , то .

Если для любого n и , то .

Бесконечно малая последовательность ограничена.

Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая.

Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Если элементы бесконечно малой последовательности не равны нулю, то последовательность будет бесконечно большой.

Если – бесконечно большая последовательность и , то последовательность – бесконечно малая.

, .

Формула Стирлинга: .

Неравенство Бернулли: .

Формула бинома Ньютона:

, где , .

Иначе,
,
где – биномиальные коэффициенты.

Частный случай:

пп 11. Теоретические Упражнения
ТУ ПП 8.№1.	Приведите примерограниченной снизу последовательности РЕШЕНИЕ: { n2 } ограничена снизу, так как все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству .	{ n2 }
ТУ ПП 8.№2.	Приведите примерограниченной сверху последовательности РЕШЕНИЕ: { - n } = { – 1,–2,–3 ,…,– n,… }ограничена сверху, так как все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству .	{ - n }
ТУ ПП 8.№3.	Приведите примерограниченной последовательности РЕШЕНИЕ: ограничена, так как для всех nÎN имеет место система неравенств , т.е. M=1, m=0.
ТУ ПП 8.№4.	Приведите примернеограниченной последовательности. РЕШЕНИЕ: 1) { n2 } - при любом M>0 достаточно взять ; 2) - несмотря на то, что все четные члены этой последовательности равны нулю, среди нечетных всегда найдется член, удовлетворяющий условию для любого M>0.
ТУ ПП 8.№5.	Покажите, что частное двух ограниченных последовательностей может быть как ограниченной, так и неограниченной последовательностью. РЕШЕНИЕ: Если , а , то – неограниченная последовательность, тогда как – последовательность ограниченная.

ТУ ПП 8.№6.	Приведите примерпоследовательности, не имеющей предела. РЕШЕНИЕ: Последовательность не имеет предела, так как нельзя указать номер, после которого все члены последовательности окажутся в сколь угодно малой окрестности какого-либо числа.
ТУ ПП 8.№7.	Приведите примерыбесконечно малых последовательностей. РЕШЕНИЕ: 1) Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия xn=qn, |q|<1, является бесконечно малой последовательностью, т.к. для любого e>0 из неравенства следует, что при это неравенство выполнено. Таким образом, достаточно взять 2) Последовательность – бесконечно малая, т.к. ее элементы являются произведением элементов ограниченной последовательности и бесконечно малой последовательности . 3) Последовательность – бесконечно малая, т.к. является суммой бесконечно малых последовательностей и . 4) Последовательность – бесконечно малая, т.к. является произведением бесконечно малой последовательности на бесконечно малую последовательность .

ТУ ПП 8.№8.	При каких значениях a последовательности { na } являются бесконечно большими или бесконечно малыми последовательностями? РЕШЕНИЕ: 1) Последовательности { na }, a>0 являются бесконечно большими, т.к. для любого M>0 из na следует, что если ; 2) Последовательности { na }, a<0 являются бесконечно малыми, так как из | na|<e или следует, что или , т.е. существует номер начиная с которого | na|<e. Последовательности { na } при a>0 являются бесконечно большими, а при a<0 являются бесконечно малыми последовательностями.
ТУ ПП 8.№9.	Бесконечно большая последовательность является неограниченной последовательностью. Выполняется ли обратное утверждение? РЕШЕНИЕ: Неограниченная последовательность 0, 4, 0, 8, 0, 12,… не является бесконечно большой, т.к. не все члены последовательности после некоторого n становятся больше произвольного M.	нет
ТУ ПП 8.№10.	Докажите, что . РЕШЕНИЕ: Обозначим . При n>1 an>0. Тогда из формулы бинома Ньютона при . Так как при , то , откуда следует, что . Так как , то (см. ТУ ПП 8. №8) Таким образом
ТУ ПП 8.№11.	Докажите, что . РЕШЕНИЕ: Рассмотрим последовательность и покажем, что . Так как |a|>1, то |a|=1+b, b>0. Тогда (см. ТУ ПП 8. №10) Таким образом, при выполнены неравенства Так как , то и , а поскольку из следует, что , то равенство доказано.
ТУ ПП 8. №12.	Докажите, что при |a|>1. РЕШЕНИЕ: Способ 1. Можно воспользоваться формулой Стирлинга , которая указывает порядок роста n! при n ®¥. Тогда получаем: , т.к. , если n>ae. Способ 2. Оценим значение , записав его в виде: , Пусть n>2k, а , тогда дробь и все следующие за ней дроби не превышают . Поэтому . Так как , а , то и .
ТУ ПП 8. №13.	Вычислите предел последовательности . РЕШЕНИЕ: Данная последовательность является ограниченной, т.к. (из формулы бинома Ньютона), и, следовательно, , Кроме того, . Так как (n+1)(n+k)= n (n+k+1)+ k, то , и в силу неравенства Бернулли , имеем Таким образом, , т.е. последовательность { xn } возрастает, значит последовательность { xn } сходится. Для нахождения предела рассмотрим подпоследовательность с n=p×k. .

пп 8. ПреДЕЛЫПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ПП 8.№1.	Найдите формулу общего члена последовательности: Решение: Учитывая, что , получаем , n=0,1,2,…, т.е. нумерация членов последовательности начинается с нуля. Чтобы установить нумерацию с единицы, положим , n=1,2,…	n=1,2,….
ПП 8.№2.	Найдите все предельные точки последовательности Решение:
ПП 8.№3.	Найдите , , для последовательности . Решение: Очевидно, что . Первый множитель – монотонно убывает с ростом номера, ; второй множитель колеблется между 0 и 1. В соответствии с значениями второго множителя последователь­ность может быть разбита на три монотон­ных подпоследовательности: ;; , . Легко видеть, что последовательность имеет три точки сгущения: , , . ищем среди первых элементов подпоследовательностей, очевиден.	, , , .
ПП 8.№4.	Укажите, какие из заданных последовательно­стей являются ограниченными, бесконечно большими и бесконечно малыми: . Решение: 1) Последовательность бесконечно малая, т.к. представляет собой сумму двух бесконечно малых последовательностей и : последовательность бесконечно малая, т.к. , а – бесконечно большая; последовательность также бесконечно малая, т.к. – бесконечно большая. 2) Последовательность – ограниченная, т.к. при всех n . 3) Последовательность неограниченная, т.к. для любого M>0 можно указать такой, что при n>N, .	– бесконечно малая, – ограниченная,   – неограниченная.
ПП 8.№5.	Пользуясь определением предела, докажите (укажите ), что , если Решение: Рассмотрим неравенство , или , или , т.е. . Тогда исходное неравенство выполняется при , если (Если , то неравенство выполняется для любого n). Выбрав в качестве получим, что при всех неравенство выполнено.
ПП 8.№6.	Пользуясь определением предела, докажите, что , если (укажите ). Решение: Докажем, что для последовательности по определению предела последовательности число будет являться пределом, то есть выполняется утверждение: . . Возьмем произвольное и потребуем, чтобы, то есть выполнялось неравенство Решим это неравенство относительно Положим где - целая часть числа , то есть выберем в качестве первое по величине натуральное число, которое превосходит действительное число , или равно ему, если это действительное число является целым. Итак, существует номер , такой, что для номеров , что и требовалось доказать.
ПП 8.№7.	Пользуясь определением предела, докажите (укажите ), что , если Решение: Действительно, для любого e>0 неравенство всегда выполнено, если . В качестве N(e) достаточно взять целую часть числа , увеличенную на единицу, т.е.
ПП 8.№8.	Пользуясь определением предела, докажите (укажите ), что , если Решение: Из неравенства получаем или . Выбирая , если e£1, и N(e)=1, если e>1, получаем, что .

ПП 8.№9.	Вычислите предел числовой последовательности . Решение: Числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, т.е. мы имеем неопределенность типа . Выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой отношение многочленов. Поделим числитель и знаменатель на в наибольшей степени (): Последовательности - бесконечно малые, т.е. их пределы равны нулю. . Окончательно получаем .
ПП 8.№10.	Вычислите предел числовой последовательности Решение: Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и произведем деление числителя и знаменателя получившейся дроби на - наибольшую степень .

ПП 8. №11.	Вычислите предел числовой последовательности Решение: Произведем деление числителя и знаменателя получившейся дроби на - наибольшую степень .
ПП 8. №12.	Вычислите предел числовой последовательности Решение:

ПП 8. №13.	Вычислите предел: . Решение: Выражение представляет неопределенность типа . Преобразуем подкоренные выражения, выделив возрастающие множители: , , , . Выносим в числителе и знаменателе старшие степени:
ПП 8. №14.	Вычислите предел числовой последователь­ности . Решение: В этом примере мы имеем дело с неопределенностью типа , т.к. и при . Эту неопределенность можно устранить или превратить в неопределенность типа , вынеся за скобку старшую степень или домножая на сопряженное. Способ 1: . Выражение в скобках стремится к единице, а . Отсюда следует, что предел не существует, т.е. . Способ 2: = .
ПП 8. №15.	Вычислите предел . Решение: Последовательность есть произведение двух последовательностей и , из которых первая ограниченная, а вторая ¾ бесконечно малая. Следовательно, .
ПП 8. №16.	Вычислите предел . Решение: . Последовательность бесконечно большая, т.к. . Следовательно, .
ПП 8. №17.	Вычислите предел . Решение: В этом примере мы опять имеем дело с неопределенностью . Расписываем факториалы по формуле .
ПП 8. №18.	Вычислите предел числовой последовательности Решение:
ПП 8. №19.	Вычислите предел числовой последовательности Решение: Числитель дроби представляет собой сумму первых членов арифметической прогрессии, которая равна поэтому	-2
ПП 8. №20.	Вычислите предел . Решение: Тогда .	е
ПП 8. №21.	Вычислите предел числовой последовательности Решение:
ПП 8. №22.	Вычислите предел . Решение: , . Таким образом, в последовательности основание стремится к e, а последовательность расходится и при . Таким образом, получаем .