8.1.1–8.1.10. Найтинеопределенныеинтегралы.Результаты проверить дифференцированием.
æ1
8.1.1. а) òç+
è x
1- x 2
ö
+ x 4÷ dx; б)
ø
dx;
в) ò(x -1)e xdx; г)
òsin3 x cos5 xdx.
|
è
1
cos2 x
+2 ex ö dx; б)
|
x
x 2 +1
dx;
в) ò(x +3)cos xdx; г)
òtg4 x
dx.
|
|
1
|
+5ö
dx; б)
òsin(2-3 x) dx;
èsin x ø
x 4
в) òln4 x
dx;г) ò x 2 +1
dx.
|
è
+ 1
1+ x 2
|
ø
x
x 2 -3
dx
dx;
в) ò x sin xdx; г)
ò(2- x)
.
1- x
|
è
1
4+ x 2
- x 3ö
|
dx; б) ò
3 x -2
dx;
в) ò(x +2)e xdx; г) ò cos x
1+cos x
dx.
æ 1 x ö
æ x ö
8.1.6.а) òç9- x 2 + e
-7÷ dx; б) òsinç5+3÷ dx;
èøèø
dx
в) ò x cos3 xdx; г) ò
x +1+
.
(x +1)3
æ 1 ö
1-2 x
8.1.7.а) òç x +
è
x 2 +9
-sin x ÷ dx; б) ò2 e
ø
dx;
в) ò x ln4 xdx; г) òsin2 x cos2 xdx.
æ 1 x ö
e x dx
|
|
÷ dx; б) ò e 2 x +1;
в) ò(x -3)sin xdx; г)
dx
|
|
-4+
1 ö
|
2
4-8 x
dx;
è1+ x ø
в) ò arctgxdx; г)
ò x 2 ×
1+ xx
dx.
|
æ
ç2+
è
1- x
+sin x ö; б)
|
dx
|
3 x +5
в) òln xdx; г) ò x 2 +8 x +15 dx.
8.2.31–8.2.40. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.Сделать чертеж.
8.2.31.
8.2.32.
8.2.33.
x 2 +2 y =0,
x 2 -2 y =0,
x 2 -2 y =0,
5 x +2 y -6 =0.
x -2 y +6 = 0.
x +2 y -6 =0.
8.2.34. x 2 -6 y =0,
x +6 y -12=0.
8.2.35.
8.2.36.
8.2.37.
8.2.38.
8.2.39.
8.2.40.
x 2 +2 y =0,
2 x + y 2 =0,
2 x - y 2 =0,
2 x - y 2 =0,
6 x - y 2 =0,
x + y 2 =0,
2 x - y -3=0.
2 x +5 y -6 =0.
2 x - y -6 =0.
2 x + y -6 = 0.
6 x + y -12=0.
x -2 y +3=0.
9.1.11–9.1.20. Найтипроизводные функциидвухпеременных.
9.1.11.
¶ z,
¶ x
¶ z,если
¶ y
z = u sin(u + v),где
u = y,
x
v =3 x - y.
9.1.12.
¶ z,
¶ x
¶ z,если
¶ y
z 2 x 3 y - zy - x + y +1=0.
9.1.13.
¶ z,
¶ x
¶ z,если
¶ y
z = vtg (u - v),где
u = y 2 - x 2,
v = xy.
9.1.14.
¶ z,
¶ x
¶ z,если
¶ y
z = v cos(u - v),
где
u = y + x 2,
v = xy.
9.1.15.
¶ z,
¶ x
¶ z,если
¶ y
z 2
yex
- z 3 y + x -2 y -10=0.
9.1.16.
¶ z,
¶ x
¶ z,если
¶ y
z = u sin(u 2 - v 2),где
u = x 2 + y 2,
v = x -2 y.
9.1.17.
dz,если z =
dx
u sin(u - v 2),где
u = e 2 x,
v =2 x ln x.
9.1.18.
¶ z,
¶ x
¶ z,если
¶ y
x + y
xe z
- xyz -10 x + z 2 -2=0.
9.1.19.
¶ z,
¶ x
¶ z,если
¶ y
z =2 u sin(u),где
u + v
u = ex - y,
v = y.
x
9.1.20.
¶ z,
¶ x
¶ z,если
¶ y
z = u 2
3 u - v
где
u = x +2 y,
v = xy.
9.1.51–9.1.60. Расставить пределы интегрирования в повторном
интеграле для двойного интеграла
интегрирования.
òò f (x, y) dxdy
D
и изменить порядок
9.1.51. D:
9.1.52. D:
y =0;
y =2 x;
y = x 2;
y =2(x -2)2;
y =2- x.
y =0.
9.1.53. D:
9.1.54. D:
y =2-(x -1)2;
y 2 = x;
y =1- x.
x + y -2=0.
9.1.55. D:
9.1.56. D:
9.1.57. D:
9.1.58. D:
9.1.59. D:
y =0; y 2 = x; y 2 = x;
y =1- x 2;
y =1– х 2;
y =(x +1)2;
x =(y -2)2;
x =(y -2)2;
y =1-(x -2)2;
y =1–(х– 2)2;
y =(x -1)2.
x =0. y =0. y =1.
y =0,5.
9.1.60. D:
y =(x +2)2;
y = 1 - x;
y =0.
2 2
10.1.1–10.1.10. Вычислить криволинейный интеграл. Сделать чертеж дугикривой L.
10.1.1. ò
L
x 2 +1
dx +
y +1
x - ydy,где L– отрезокпрямойот точки(1;0)доточки
x +1
(2;1).
x 2 x +2 y
|
dy, где L– отрезокпрямойотточки(1;1) до
3 x +1
точки (2;2).
10.1.3. ò
L
y 2 +1
dx +
x +1
x +1- y
dy,где L – дуга кривой y = ln(x +1)от точки
(0;0) доточки(e – 1;1).
y 2 -1 1
10.1.4. ò
dx + dy,где L– дуга кривой y = x 2
x +1 x
от точки(1;1)доточки
L
(2;4).
10.1.5.ò(y 2 - x) dx +(x 2 - y) dy,где L– верхняя половина окружности
L
x = sin2 t, y = cos2 t. Интегрироватьпротивчасовойстрелки.
|
Lxy
от точки(– 1;1)доточки
(– 2;4).
10.1.7.ò y 2 dx + x 2 dy,где L– верхняячетвертьокружности x =2sin t,
L
y = 2cos t. Интегрироватьпротивчасовойстрелки.
10.1.8. ò
L
x 2 +1
dx +
y +1
x - ydy,где L– отрезокпрямойот точки(1;0)доточки
x +1
(2;1).
10.1.9. ò
L
y -1
x
dx +
x -1
y
dy,где L – дуга кривой y = x 2
от точки(1;1)до
точки (2;4).
10.1.10.ò(y - x) dx +(x - y) dy, где L– верхняяполовина эллипса x = 3sin2 t,
L
y = 4cos2 t. Интегрироватьпротивчасовойстрелки.