Тема: Исследование свойств функции с помощью производной

ЕН.01 Математика группа С-21 12.10.2020

Инструкция по выполнению:

1) В тетради на первой строке написать своё ФИО и группу, на полях записать дату занятия.

2) На второй строке написать тему занятия.

3) Записать в тетрадь весь представленный теоретический материал строго по пунктам.

4) Разобрать по учебнику решение № 1(2) из главы 8 параграфа 1 (стр.105). Это на первое свойство – монотонность.

5) Разобрать по учебнику решение № 13(2) из главы 8 параграфа 2 (стр.108). Это на второе свойство – точки экстремума.

6) Разобрать по учебнику решение № 53(2) из главы 8 параграфа 6 (стр.114). Это на третье свойство – выпуклость графика функции.

7) Разобрать по учебнику решение № 57(1) из главы 8 параграфа 7 (стр.115). Это точки перегиба.

8) Записи лекции не присылать. Данный материал нужен будет для следующей темы и для сдачи экзамена.

9) Записи в тетради выполняются аккуратно и разборчиво.

Справочная литература:

1. Богомолов Н. В., Самойленко П. И. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учебных заведений. – М.: Высшая школа, 2010. – 495 с.

Ссылка на электронную версию учебника: https://uch-lit.ru/izbrannoe/bogomolov-n-v-prakticheskie-zanyatiya-po-matematike-uchebnoe-posobie-dlya-uchashhihsya-kolledzhey-onlayn

Тема: Исследование свойств функции с помощью производной

1. Монотонность функции: возрастание и убывание функции.

Монотонность функции характеризуется знаком её первой производной.

Функция на промежутке называется возрастающей, если в этом промежутке производная функции положительная (имеет знак плюс), т.е.

Функция на промежутке называется убывающей, если в этом промежутке производная функции отрицательная (имеет знак минус), т.е.

Критические точки это точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, т.е.

1. Экстремумы функции: точки максимума и минимума.

Точка является точкой максимума, если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с «+» на «-».

Точка является точкой минимума, если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с «-» на «+».

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знака, то функция не имеет экстремума.

Правило нахождения промежутков монотонности и точек экстремума:

1. Найти производную данной функции.

2. Найти критические точки (решить уравнение).

3. Найденные точки отметить на оси ОХ и найти знаки производной функции в промежутках.

4. По знакам производной сделать выводы о монотонности графика функции и точках экстремума.

5. Вычислить значение функции в точках экстремума и записать координаты полученных точек.

1. Выпуклость графика функции: выпуклость вверх и выпуклость вниз (вогнутость).

Выпуклость графика функции характеризуется знаком её второй производной.

Функция на промежутке выпукла вверх, если в этом промежутке вторая производная функции отрицательная (имеет знак минус), т.е.

Функция на промежутке выпукла вниз, если в этом промежутке вторая производная функции положительная (имеет знак плюс), т.е. .

1. Точки перегиба графика функции.

Точкой перегиба называется точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика.

Точками перегиба могут служить только критические точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв, т.е. .

Правило нахождения промежутков выпуклости:

1. Найти вторую производную данной функции.
2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю (решить уравнение).
3. Найденные точки отметить на оси ОХ и найти знаки второй производной функции в промежутках.
4. По знакам производной сделать выводы о направлениях выпуклости графика функции и точках перегиба.