Компьютерное моделирование.

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

ФИЗИКА. ЧАСТЬ II.

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

 

Липецк

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П.П. СЕМЕНОВА-ТЯН-ШАНСКОГО»

ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ, МАТЕМАТИЧЕСКИХ И

ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ, ИНФОРМАЦИОННЫХ

ТЕХНОЛОГИЙ И ЗАЩИТЫИНФОРМАЦИИ

 

 

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.. ФИЗИКА.

ЧАСТЬ II

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

 

Липецк - 2017

УДК 681.142.4: 50 Рекомендовано к печати

ББК 20в 631 кафедрой информатики, информационных

К технологий и защиты информации

ЛГПУ имени

П.П. Семенова-Тян-Шанского

Протокол № 7 от 03.02.2017 г.

 

Авторы: Кононова З.А., Алтухова С.О., Воробьев Г.А., Белозерова Г.И. Компьютерное моделирование. Физика. Учебное пособие Издание 2-ое, дополненное и исправленное. – Липецк: ЛГПУ имени П.П. Семенова-Тян-Шанского, 2017. ч. 2. – 79 с.

 

ISBN 978-5-88526-825-7 (2 часть)

ISBN 978-5-88526-794-6

 

1. Учебное пособие формирует основы навыков компьютерного и математического моделирования, содержит в себе конспективное изложение основных тем, рисунки и схемы, определения основных понятий.

2. Разработано в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению подготовки 44.03.05 «Педагогическое образования» (с двумя профилями подготовки) (профиль «Информатика и математика»),

3. Предназначено для студентов специальностей «Информатика и математика», «Информатика»

УДК 681.142.4: 50 ББК 20в 631 К

Рецензенты:

Д.М. Скуднев, канд. техн. наук, доцент ЛГПУ

имени П.П. Семенова-Тян-Шанского

В.Н. Малыш, доктор техн. наук, профессор

Липецкий филиал РАНХиГС

 

ISBN 978-5-88526-825-7 (2 ч) © ФГБОУ ВО «Липецкий государственный

ISBN 978-5-88526-794-6 педагогический университет имени

П.П. Семенова-Тян-Шанского», 2017

© З.А. Кононова, С.О. Алтухова, Г.А. Воробьев, Г.И. Белозерова, 2017

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

СОДЕРЖАНИЕ………………………………………………………........3

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………….…..4

ВВЕДЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ…………..….5

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ФИЗИКЕ………………..15

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ…………………………………………18

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ……………….………… 26

Вычисление определенных интегралов …………………….. 26

Решение дифференциальных уравнений …………………....36

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ…………………………..…..49

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ………………………………….…..55

ЭЛЕМЕНТЫГИДРОАЭРОДИНАМИКИ………………………….…..61

Гидроаэростатика………………………………………………63

Движения жидкостей и газов…………………………………..66

Движения твердых тел в жидкостях и газах…………….……68

ТЕПЛОЕМКОСТЬ………………………………………………………..70

ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ…………………………………………...….73

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………..74

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………75

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………..76

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

В настоящее время методы компьютерного моделирования получили широкое распространение. Особую роль компьютерное моделирование играет при решении естественнонаучных и технических задач. Компьютерный эксперимент или вычислительный эксперимент, наряду с традиционным, «натурным» экспериментом, сегодня является одним из основных методов исследования сложных систем и физических процессов. Компьютерное математическое моделирование как инструмент исследования имеет преимущества по сравнению с реальным экспериментом – он может быть осуществлен в условиях, когда проведение натурного эксперимента затруднено или невозможно. В озможность теоретического решения задачи ограничивается степенью сложности ее математической модели. Математическая модель тем сложнее, чем сложнее описываемый с ее помощью физический процесс, и тем проблематичнее становится использование такой модели для расчетов.

В данном учебном пособии не ставится цель построения и решения сложных физических моделей, его цель – познакомить обучающихся с теорией и практикой основных методов компьютерного моделирования. Невозможно научить «абстрактному» моделированию, для разработки моделей, максимально приближенных к реальным процессам, необходимо знать и понимать основы физики. Поэтому в пособии приводятся основные законы и понятия физики по некоторым ее разделам. Не зная программирования, трудно реализовать на компьютере математическую модель. В данном пособии приведены некоторые способы компьютерной реализации решения дифференциальных и интегральных уравнений. Применение компьютерной графики обеспечивает наглядность результатов вычисления (моделирования), что немаловажно для их восприятия и интерпретации исследователем.

 

 

ВВЕДЕНИЕ В КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

 

 

Развитие науки и техники сегодня требует огромных материальных затрат. Поэтому прежде чем решиться на постановку очень дорогого эксперимента, надо хорошо взвесить все «за» и «против», с максимальной достоверностью «проиграть» все ситуации, возможные при проведении эксперимента.

С другой стороны, при изучении сложных объектов и процессов – процессов в недрах звезд, планет, траектории движения космических кораблей, расчета технологического цикла, выяснения механизма сложного малоизученного физико-химического процесса и т.д. – очень сложно учесть влияние всех факторов. Какие-то факторы окажутся более важными, какими-то вообще можно будет пренебречь.

Сложность поставленных задач требует использования для их решения электронно-вычислительной техники. Действительно, вручную тяжело производить сложные математические расчеты, принимая во внимание физические или иные принципы, лежащие в основе изучаемого процесса, постоянно при этом учитывая влияние различных факторов, не говоря уже о громадном количестве переменных, постоянных, начальных и граничных условий. При этом на каждом этапе расчетов существуют свои допущения и ограничения. Очевидно, что такая кропотливая работа доступна только компьютеру.

В обоих случаях при постановке проблемы (задачи) появляется модель объекта – мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию о самом объекте (модель – от латинского modus, modulus – мера, образец, способ и т.д.)[3,4]. После создания модели, следующим шагом в решении поставленной задачи является написание алгоритма, т.е. определение последовательности в решении задачи. После этого можно приступить к написанию программы, которая и будет реализована на компьютере. Таким образом, моделирование – нахождение законов, которым подчиняется поведение изучаемого объекта, составление математических уравнений, описывающих эти законы (природа законов может быть любой).

Если результаты моделирования объекта на ЭВМ верно отражают его поведение, то можно смоделировать поведение объекта в самых разных, подчас экстремальных условиях, выбрать наиболее «выгодные и удобные» (понятие) параметры. Стал возможен вычислительный эксперимент, значение которого трудно переоценить, особенно если натурный (реальный) эксперимент опасен, дорог или просто невозможен. Разумное сочетание аналитических и численных методов является необходимым для решения проблемы. Основой вычислительного эксперимента является математическое моделирование, теоретической базой – прикладная математика, технической базой – мощные электронно-вычислительные машины. Использование вычислительного эксперимента как средства решения сложных прикладных задач имеет в каждом конкретном случае свои специфические особенности, но, тем не менее, всегда просматриваются общие характерные основные черты, позволяющие говорить о единой структуре процесса.

Большой опыт, накопленный при решении задач физики плазмы, атомной энергетики, освоения космоса и т.д., необходимо использовать при решении других не менее важных проблем – огромные возможности оптимизации процессов в химической технологии, машиностроении, в теории новых методов обработки и создания новых материалов. Важные задачи стоят в моделировании и совершенствовании биотехнологических процессов. Увеличение нефтеотдачи пластов, борьба с коррозией, разработка ресурсосберегающих технологий – решение этих проблем может дать большой экономический эффект. Очевидно, что модели, алгоритмы, программы, вычислительные машины должны развиваться согласованно и гармонично, отставание в развитии какого-либо звена может сделать невозможным решение многих проблем, а качественный прорыв может привести к разрешению сразу многих проблем в различных отраслях техники и науки. Умение программировать должно стать полезным инструментом при работе в вычислительном эксперименте. Модели реальных объектов, моделирование явлений давно используется в науке и технике для проверки идей, отработки гипотез, получения экспериментального материала. Таким образом, модель – должна не просто отражать внешнее сходство процессов и явлений, но поведения модели и реального объекта должно подчиняться одинаковым закономерностям.

Зачастую физические модели могут быть решены (или обсчитаны) при помощи математических моделей. Математическая модель – математическая задача, которая описывает поведение реального физического объекта (используется физиками еще со времен Галилея), т.е. это запись законов природы математическим языком. Проиллюстрируем сказанное простым примером: ускорение свободного падения (g) всех тел у поверхности Земли описывается выражением: (где а – ускорение свободного падения тел, определяемое из второго закона Ньютона: F=ma). Но математическая модель – не только уравнения, но и дополнительные условия, устанавливающие границы их применимости. Опять же падение камня и плоского листа происходит с одинаковым ускорением, но во втором случае большое значение имеет сопротивление среды, в которой происходит падение.

Таким образом, при конструировании математической модели ее нельзя слишком усложнить, иначе из-за обилия уравнений, их сложности, громоздкости может оказаться невозможным получение решения задачи. А с другой стороны – недопустимо не учитывать различные физические явления ради стремления к простоте, иначе математическая модель может дать абсурдные результаты. Поэтому от исследователя требуется не только хорошее владение математическими методами, программированием, но и понимание основных законов физики, химии, биологии и т.д.

 

Различают следующие виды моделей:

 

- традиционные модели, в которых используется математическое моделирование без какой-либо привязки к техническим средствам вычисления (прежде всего для теоретической физики, механики, химии, биологии);

- информационные модели и информационное моделирование, имеющие приложения в информационных системах;

- вербальные (словесные, текстовые) языковые модели;

- информационные модели, которые делятся:

· модели, построенные с использованием базовых универсальных программных средств: текстовых редакторов, СУБД, табличных процессов, телекоммуникационных пакетов;

· компьютерные модели, которые, в свою очередь, делятся:

- вычислительные (имитационные) модели;

- графические модели, представляющие собой «визуализацию явлений и процессов»;

- модели, использующие специализированные прикладные технологии с применением компьютера (как правило, режим реального времени) в сочетании с измерительной аппаратурой, датчиками, сенсорами и т.д.

Вербальные модели используют последовательности предложений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности (например, правила дорожного движения).

Математические модели используют математические методы. Можно сказать, что модель физического явления, например, представляет собой набор исходных уравнений, описывающих физические процессы. Или же это могут быть математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный план работы какого-либо предприятия.

Информационные модели описывают информационные процессы в системах различной природы.

Математическое моделирование получило дополнительный толчок к развитию с появлением и развитием ЭВМ, хотя оно не всегда требует компьютерной поддержки. Аналитические решения, представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные, обычно удобнее и информативнее численных решений. Результат аналитического исследования математической модели часто выражается такой сложной формулой, что с первого взгляда и не понять механизма описываемого процесса. Поэтому эту формулу нужно табулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, а при этом трудно обойтись без компьютера.

 

Последовательность компьютерного моделирования

 

Первый этап – определение целей моделирования, основные из которых следующие:

- понимание; модель нужна для понимания устройства объекта исследования, его структуры, свойств, взаимодействия с окружающей средой;

- управление; модель нужна для обучения управлением неким процессом или объектом и определения оптимального способа управления при заданных целях и условиях;

- прогнозирование; модель нужна для прогнозирования последствий воздействия на объект или процесс.

 

 

Рис. 1. Схема последовательности компьютерного моделирования

 

 

Символическое поведение объекта или процесса можно представить как

 

y_j = F_j(x₁, x₂, …, x_n) (при j = 1,2,…, k и i = 1,2,…,n),

 

где исходные (входные) величины - (x_i) x₁, x₂, …, x_n;

конечные (выходные) величины - (y_j) y₁, y₂, …, y_k;

F_j – действия, которые необходимо произвести над входными данными, чтобы получить выходные, или конечный результат.

Входные параметры могут быть известны «точно», т.е. могут быть измерены – детерминированные величины, как например, в классической механике. Но в природе, как впрочем, и в обществе, чаще встречаются процессы, известные лишь с определенной степенью вероятности, значит, и входные параметры – вероятностные, стохастические, случайностные. Для стохастической модели выходные данные могут быть как вероятностными величинами, так и строго определенными. Например, «стояние» в очереди: в этом случае неизвестно, какое время будет затрачено на продвижение очереди, но в итоге вы все равно подойдете к прилавку (если вам это необходимо). Или же утренняя поездка на работу-учебу: можно затратить минимум времени при минимальном количестве транспорта или, наоборот, можно затратить достаточное количество времени и поменять несколько видов транспорта на одном и том же маршруте движения. При этом автобусы могут ломаться, могут быть «обесточены» трамвайно-троллейбусные линии, возникать препятствия различного характера на дорогах и т.д., но вы в итоге все равно доберетесь до нужного вам пункта. Время в пути, являющееся в данном случае объектом моделирования, будет укладываться в определенный временной интервал.

Второй этап – огрубление объекта (процесса), называемое ранжированием – это разделение входных данных по степени важности влияния (об этом уже упоминалось ранее). Отбрасывание менее значимых факторов огрубляет процесс (или объект) моделирования и способствует пониманию его основных свойств и закономерностей. Определить правильность ранжирования можно, проэкспериментировав с моделью, проанализировав полученные результаты. Если исходный параметр незначительно влияет на конечные результаты, т.е. отклонение значений y_i от y_ср невелики, то таким параметром (x_i) можно пренебречь. Если же значение величины y_i реагирует на изменение x_i сильными отклонениями от y_ср, то такой параметр x_i нельзя ни в коем случае исключать из параметров моделирования.

На этапе поиска математического описания требуется перейти от абстрактной формулированной модели к конкретной системе математических выражений: уравнение, система уравнений, системы интегральных уравнений, неравенств или дифференциальных уравнений.

Далее необходимо выбрать методы исследования математической модели, известные из курса высшей математики. Для решения конкретной задачи могут быть использованы несколько методов, выбор определяется их эффективностью, устойчивостью, сложностью решаемой задачи, требуемой точностью получаемого решения. Очень важно правильно подобрать метод.

Для следующего этапа – разработки алгоритма и составления программы для ЭВМ – в настоящее время наиболее распространенными являются приемы процедурно-ориентированного (структурного) программирования. В качестве языков программирования используются FORTRAN (именно на этом языке написано большинство отлаженных оптимизированных программ), PASCAL, BASIC, СИ.

Тестирование программы – этап трудоемкий. Вначале неплохо решить с помощью написанной программы простую задачку с известным ответом, чтобы устранить грубые ошибки. Окончание тестирования определяется самим автором.

После этого следует расчет на ЭВМ или вычислительный (численный) эксперимент. Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными данными с заданной точностью.

В случае несоответствия модели реальному процессу, а это определяется на этапе анализа результатов, необходимо вернуться к выбору метода исследования. Если и в этом случае модель не адекватна реальному процессу, то нужно начать с ранжирования параметров процесса.

 

Классифицировать математические модели можно:

- по отраслям наук: модели в физике, химии, биологии и т.д.

- по используемому математическому аппарату;

- по целям моделирования, где математические модели подразделяются:

· на описательные;

· оптимизационные;

· многокритериальные;

· игровые;

· имитационные.

 

При создании моделирующей программы необходимо особое внимание уделять оформлению диалога и формы представления результатов. Уместно начать с кадра – заставки, где написаны название задачи, фамилия автора программы, можно поместить несложный рисунок, иллюстрирующий задачу. Далее (на следующем кадре) – основное уравнение, по сути своей – сама модель, предложение ввести исходные данные с обязательным словесным запросом значения каждого параметра. Для вывода результатов уместно использовать таблицы, графики, траектории движения и т.д. Можно в процессе выполнения программы организовать появление на экране монитора надписи, типа «подождите, идут расчеты», «вывод таблицы результатов», «вывод графика функции y(x)», «окончание расчетов» и т.п. Использование сред визуального программирования типа Delphi и интерфейсных операционных систем уровня Windows дает более высокие по качеству программные продукты.

Как известно, рисунки, графики воспринимаются мозгом человека легче набора цифр. Поэтому и появилась машинная или компьютерная графика, которая подразделяется:

- на иллюстративную графику, служащую для создания неформульных изображений;

- деловую графику, необходимую для построения на экране диаграмм, графиков с подписями и разметкой по имеющимся данным;

- инженерную графику или САПР (системы автоматизированного проектирования), представляющую собой диалоговые системы, предназначенные для автоматизации процесса проектирования технического объекта, создания полных комплектов проектных документов;

- научную графику, более применимую для случая моделирования.

 

Универсальных систем не существует из-за разнообразия решаемых задач. Обычно основные программы содержат подпрограммы, обеспечивающие иллюстрационную графику изучаемого процесса (объекта). Научная графика дает возможность увидеть «невидимое», например, строение молекул сложных веществ, залегание рудоносных пластов под землей и т.д., что весьма немаловажно.

 

Надо заметить, что сама математическая модель в процессе развития претерпевает изменения (как то – усложнения, корректировку, поправки). Приходится учитывать большее количество факторов, влияющих на объект или процесс. В итоге программа усложняется, разветвляется, иногда приходится программу полностью переписывать. Для разрешения подобных ситуаций существуют пакеты прикладных программ (ППП), состоящие из функционального наполнения и системной части. Функциональное наполнение представляет собой набор отдельных программ, решающих конкретные задачи, объединенные общей предметной областью или общей направленностью. ППП проблемно- ориентирован, т.е. предназначен для решения определенного класса задач. Системная часть выполняет функции сервисного характера: хранение функционального наполнения, обеспечение сборки из отдельных модулей полной конкретной программы. Широкое внедрение ППП должно служить цели оперативного распространения передового опыта в области вычислительного эксперимента. Пакеты прикладных программ дают возможность пользоваться ими не только математикам, но и специалистам в других областях науки и техники, знакомым с азами программирования.

 

Чтобы не быть голословными, уместно привести примеры некоторых областей науки и техники, в которых не только возможно, но и необходимо использование математического моделирования и вычислительного эксперимента.

· Энергетическая область. Прогнозирование работы атомных и термоядерных реакторов на основе детального математического моделирования происходящих в них физических процессов; здесь вычислительный эксперимент используется очень активно и успешно.

· Космическая техника. Расчет траекторий летательных аппаратов, задачи обтекания, системы автоматического проектирования, обработка данных натурного эксперимента. Сочетание имеющейся измерительной техники с присоединенным к ней компьютером заменяет измерительный прибор более высокого уровня (необходим лишь специальный алгоритм для стыковки приборов).

· Технологические процессы. Получение кристаллов и пленок, необходимых, в том числе, и для вычислительной техники, моделирование теплового режима конструктивных узлов перспективных ЭВМ, процессов лазерной плазмы, технологии создания материалов с заданными свойствами.

· Экологические проблемы. Вопросы прогнозирования и управления экологическими системами.

· Гео- и астрофизические явления. Моделирование климата, долгосрочный метеопрогноз, прогноз землетрясений и цунами, моделирование развития звезд, солнечной активности, фундаментальные проблемы происхождения и развития Вселенной.

· Химия. Расчет сложных химических (особенно органических) реакций, определение их констант, исследование химических процессов на макро- и микроуровне для интенсификации химических технологий.

· Биология. Изучение фундаментальных проблем таких как, генетика, морфогенез, разработка новых липидов, биотехнологии; оптимизация установок по производству кормового белка, производство этанола, метанола (проблема горючего), производство лекарств.

· Физика. Изучение процессов в квантовой теории поля (на уровне микромира), т.к. они сильно нелинейны, а именно нелинейность процессов явилась первопричиной возникновения и развития вычислительного эксперимента.

 

Так как дисциплина называется «Компьютерное моделирование в естествознании», а естествознание включает в себя такие науки как физика, химия, биология, экология, электротехника и пр., то мы затронем при обучении некоторые вопросы физики, химии и экологии (как весьма актуальной в настоящее время дисциплины). В данном пособии будут приведены теоретические основы рассматриваемых наук для как можно более полного понимания студентами задач, которые им предстоит решать. Многие прикладные задачи имеют несложную постановку, но дают сложное поведение. В данном курсе для моделирования будем пользоваться языком программирования OBJECT Pascal, т.е. языком высокого уровня. Но, по большому счету, язык программирования не столь важен, главное – это правильно определить систему уравнений, по которым эта программа пишется.

 

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ФИЗИКЕ

 

Можно выделить четыре направления использования компьютеров в физике:

 

- численный анализ. Применим, если нужно всего лишь решить систему уравнений, до которых была сведена физическая задача, особенно он удобен при большом наборе переменных. В этом случае в рабочую программу закладываются необходимые физические законы. Численный анализ применим для решения сложных дифференциальных уравнений, вычисления многомерных интегралов, больших матриц;

- символьные или аналитические преобразования – следующий шаг в решении задач. В памяти компьютера уже имеется программа решения квадратного уравнения, дифференцирования, интегрирования, разложения в степенной ряд, и «физику» остается лишь задать правильные физические (математические) уравнения, расчеты по которым машина «выполнит сама»;

- моделирование. В этом случае в программу закладываются все основные законы рассматриваемой модели с минимальным анализом. Моделирование необходимо (а может уже и незаменимо) при невозможности постановки реального эксперимента, многократной повторяемости однотипных операций. К тому же не все задачи удается решить аналитическими методами. Поэтому можно поступить следующим образом: заложить правила решения, а именно, физические законы в программу для компьютера, промоделировать большое число вариантов и вычислить вероятности. Можно при помощи ЭВМ выяснить вопрос типа «что будет, если изменить какой-либо параметр?» Надо заметить, что компьютерное моделирование за последние несколько десятилетий помогло открыть новые упрощающие физические принципы.

Все три вышеназванных способа требуют некоторых приближений и допущений, но именно моделирование требует минимального предварительного исследования и понимания сути физического явления. Также компьютеры используются на этапах прогнозирования аппаратуры, управления ею в ходе эксперимента, для сбора и обработки информации. Всем этим вопросам будут посвящены практические занятия;

- управление в реальном времени. Эти задачи качественно отличаются от предыдущих, требуют программирования в реальном времени, стыковки вычислительного оборудования с разнообразными типами установок, поэтому в данном курсе рассматриваться не будут.

 

 

Принцип использования численного моделирования

 

Надо заметить, что степень развития ПЭВМ достигла такого уровня, при котором стало возможным их применение для решения не только физических, химических и прочих задач по отдельности, но и сложных технических, научных, инженерных проблем в целом.

Большинство используемых аналитических средств подходит для изучения линейных задач, однако же большинство природных процессов имеют нелинейный характер. Поэтому к ним не применимы аналитические методы, пригодные для линейных процессов с их допущениями и приближениями. Другая причина заключается в том, что нас интересуют системы либо со многими переменными, либо со многими степенями свободы (что, в принципе, одно и то же). Компьютерное моделирование «делает естественным» выражать научные законы в виде правил для компьютера. Некоторые физики пришли к мысли о создании компьютеров, способных более эффективно моделировать физические системы. Вычислительный эксперимент имеет много общего с лабораторным экспериментом.

 

Таблица 1

 

Аналогии между лабораторным и вычислительным экспериментом

 

Лабораторный эксперимент	Вычислительный эксперимент
образец	модель
физический прибор	программа для ЭВМ
калибровка прибора	тестирование программы
измерение	расчет
анализ данных	анализ данных

 

Последовательность моделирования

 

- разработка идеализированной модели рассматриваемой системы (в данном случае – физической);

- определение процедуры или алгоритма для реализации данной модели на компьютере;

- моделирование компьютерной программой физической или иной системы и описание вычислительного эксперимента, который служит мостом между лабораторными экспериментами и теоретическими расчетами.

Таким образом, можно получить точные результаты, моделируя идеализированную модель, у которой нет лабораторного аналога, что есть самое заманчивое для теоретиков. Но можно моделировать и на реалистичной модели для осуществления более прямого сравнения с лабораторными экспериментами.

Повторимся еще раз: численное моделирование не заменяет размышление, а помогает объяснять природные явления так, чтобы их суть была бы понятна каждому.

Особую важность имеет графическое представление результатов. Графическая информация дает большую наглядность полученных данных, причем, чем более сложные численные данные, тем полезнее визуальное их представление. Дело в том, что по виду табличных данных нельзя однозначно судить о характере процесса, графическое же представление результатов работы всегда дает ясную картину об изучаемом процессе (объекте). К тому же использование графических средств может улучшить наше понимание характера аналитических решений.

Обычно рабочие программы стараются писать в виде модулей, представляющих собой подпрограммы, выполняющие конкретные задачи. Если программу легко читать и понимать, то это, по всей видимости, неплохая программа.

При построении программы используют два принципа: дедуктивный – от общего к частному – и индуктивный – от частного к общему. При дедуктивном подходе рассматривается частный случай общеизвестной фундаментальной модели. В этом варианте при заданных предположениях известная модель приспосабливается к условиям моделируемого объекта. Индуктивный способ предполагает выдвижение гипотез, декомпозицию сложного объекта, анализ, затем – синтез. В этом случае широко используются подобие, аналогичное моделирование, умозаключения с целью формирования каких-либо закономерностей в виде предположений о поведении системы. Иными словами? индуктивное моделирование можно представить как:

 

1 – эмпирический этап:

- умозаключения;

- интуиция;

- предположения;

- гипотеза;

2 – постановка задачи для моделирования;

3 – оценки, количественное и качественное описания;

4 – построение модели.

 

В заключение к вводной части можно добавить, что компьютерное математическое моделирование использует практически весь аппарат современной математики. В данном курсе предполагается знание студентами таких основ математики, как:

· теория дифференциальных уравнений;

· аппроксимация функций (включая интерполяцию и среднеквадратичные приближения);

· аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве;

· математическая статистика;

· численные методы:

- решения алгебраических и трансцендентных уравнений;

- решения систем линейных алгебраических уравнений;

- интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем (задача Коши).

 

 

Свободное падение тел

 

Будем рассматривать падение тел вблизи поверхности Земли (в случае других небесных тел принципы и подходы аналогичные). Для начала изучим простейший случай: падение тел без учета вращения и возможного внутреннего движения тела. Да и само тело будем рассматривать как материальную точку, тем более что во многих случаях даже планеты можно считать материальными точками [5,6].

В случае одномерного движения, т.е. движения по одной пространственной координате, уравнения движения материальной точки имеют следующий вид:

 

скорость , (1)

 

где y(t) – путь, пройденный точкой (здесь и далее подразумевается материальная точка), он же соответственно и координата.

 

Ускорение (2)

 

Величины скорости и ускорения здесь кинематические, т.к. не рассматриваются причины, их вызывающие. Если скорость – это изменение радиус-вектора (или приращения пути) в единицу времени, то ускорение, соответственно, – это изменение скорости движения материальной точки или тела за единицу времени; оно обусловлено действием на объект некой результирующей силы. Результирующая сила – векторная величина, состоит из векторной суммы всех сил, действующих на тело:

 

.

 

Второй закон Ньютона определяет понятие ускорения как:

, (3)

где F – равнодействующая сила,

m – инертная масса (масса, не зависящая от скорости движения тела).

В общем случае сила зависит от координаты, скорости и времени. Движение материальной точки не зависит от , и (факт, что можно найти простое объяснение для движения, является свойством природы, а не математического описания). Сведя уравнения (1) и (2) в одно, получим:

 

(4)

 

Вернемся к падению тел. «Свободным падением» называют движение, при котором отсутствует сопротивление воздуха. В этом случае все тела, независимо от массы, размеров, состава, строения, находящиеся на одинаковом расстоянии от поверхности Земли, имеют одинаковое ускорение. Ускорение свободного падения всегда направлено к центру Земли, и вблизи Земли оно составляет величину g » 9.8 м/с². Решив уравнение (4), имеем (с учетом того, что a=g):

 

, (5)

 

, (6)

 

где V_o – начальная скорость точки (тела),

y_o – начальная координата.

Из уравнений (5) и (6) видно, что для определения движения необходимо задать начальные условия.

 

В более сложном случае, с учетом гравитационного поля Земли, ускорение свободного падения не является постоянным, а зависит от расстояния тела до центра Земли. И тогда сила притяжения будет равна:

 

, (7)

 

где G – постоянная всемирного тяготения (или гравитационная постоянная), равная 6.67×10^-11 Н×м²/кг²,

M – масса Земли, которая составляет 5.98×10²⁴ кг,

R – средний радиус Земли, равный 6.38×10⁶ м.

Преобразовав уравнение (7) (с учетом того, что GM/R² = g), получим:

 

. (8)

 

Усложним задачу еще: учтем сопротивление воздуха, которое обусловливает появление тормозящей силы. По определению, тормозящая сила направлена противоположно движению тела. Надо заметить, что начинать решение физических задач или моделиров