ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Для студентов 1 курса специальности «Документоведение и информационная деятельность»
Дневной формы обучения
- В задачах 1-10 даны координаты вершин пирамиды . Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами и ;
2) площадь грани ;
3) проекцию вектора на вектор ;
Объем пирамиды.
1. .
2.
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
- В задачах 11-20 даны координаты точек . Найти:
1) уравнение прямой, проходящей через точки и ,
2) угол между прямыми и ,
3) расстояние от точки до прямой ,
4) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ,
5) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
- В задачах 21-30 найти все точки пересечения трех следующих плоскостей:
1) плоскости , заданной общим уравнением ;
2) плоскости , проходящей через точки ,
3) плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору .
№ | А | B | C | D | |||||
21. | -3 | (-5;0;0) | (0;-1;0) | (6;1;1) | (0;-4;0) | ||||
22. | -4 | (-1;0;1) | (3;0;0) | (0;-1;1) | (0;-2;0) | ||||
23. | -1 | (0;0;0) | (-1;1;1) | (-3;0;2) | (1;1;2) | ||||
24. | -1 | (0;0;-1) | (0;-1;0) | (2;-2;2) | (0;0;1) | ||||
25. | (1;1;0) | (1;0;1) | (0;-2;1) | (6;0;0) | |||||
26. | (0;3;0) | (-1;1;2) | (5;1;-4) | (1;-1;0) | |||||
27. | -2 | (0;1;1) | (1;1;0) | (-3;0;0) | (0;0;2) | ||||
28. | -1 | (0;0;0) | (1;1;1) | (3;-2;0) | (1;1;-2) | ||||
29. | -1 | (-10;0;0) | (-1;3;0) | (-2;0;-4) | (-1;0;-2) | ||||
30. | -1 | (-2;0;-1) | (0;1;1) | (2;2;0) | (1;0;1) |
- В задачах 31-40 дана точка , плоскость и прямая. Найти:
1) точку , симметричную точке относительно данной плоскости,
2) точку , симметричную точке относительно данной прямой,
Угол между данными прямой и плоскостью,
4) точки пересечения прямой, параллельной заданной и проходящей через точку , с координатными плоскостями.
31. .
32. .
33. .
34. .
35. .
36. .
37. .
38. .
39. .
40. .
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИ. ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ.
Задача 1. Пусть пирамида задана вершинами . Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами и ;
2) площадь грани ;
3) проекцию вектора на вектор ;
Объем пирамиды.
Решение.
1) Угол между ребрами и равен углу между векторами и .
Так как , то
Поэтому:
, так что .
2) Грань есть треугольник, площадь которого равна половине площади параллелограмм, построенного на векторах . Найдем сначала векторное произведение
.
Тогда .
3). Проекция вектора на вектор находится по формуле . В нашем случае
.
Поэтому .
4). Пирамида построена на векторах . В п.2 найдено векторное произведение . Тогда . Так как объем пирамиды есть часть объема параллелепипеда, построенного на векторах то
Задача 2. На плоскости заданы точки . Найти:
5) уравнение прямой, проходящей через точки и ,
6) угол между прямыми и ,
7) расстояние от точки до прямой ,
8) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ,
9) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Решение.
1) Уравнение прямой, проходящей через точки , имеет вид
. В нашем случае: , т.е.
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки и .
2) Угол между прямыми и равен углу между векторами , который может быть найден из формулы .
Так как , то
.
Поэтому .
3) Расстояние от точки до прямой находится по формуле:
. В нашем случае нужно найти расстояние от точки до прямой , имеющей уравнение Имеем:
.
4) Запишем сначала уравнение прямой в виде , из которого находим ее угловой коэффициент . Так как прямая должна проходить через точку параллельно прямой , то ее уравнение должно иметь вид:
, т.е. или - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
5) Угловой коэффициент прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой , связан с угловым коэффициентом последней соотношением . Отсюда . Поэтому .
- это уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Задача 3. Найти все точки пересечения трех следующих плоскостей:
1) плоскости , заданной уравнением ;
2) плоскости , проходящей через точки ;
3) плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору , если известно, что
.
Решение.
Плоскость определяется уравнением . Для нахождения уравнения плоскости воспользуемся тем фактом, что уравнение плоскости, проходящей через точки , имеет вид
.
В нашем случае , т.е. .
Раскрыв этот определитель, получим:
или .
Уравнение плоскости, прохоедящей через точку перпендикулярно вектору
имеет вид: . Значит, уравнение плоскости есть: т.е. .
Из уравнений плоскостей , , составим систему:
которую и нужно решить. Для решения воспользуемся правилом Крамера. Для этой цели вычислим определители:
, , , .
Значит, . Следовательно, плоскости , , пересекаются в единственной точке .
Задача 4. Дана точка , плоскость и прямая . Найти:
1) точку , симметричную точке относительно данной плоскости,
2) точку , симметричную точке относительно данной прямой,
угол между данными прямой и плоскостью,
4)точки пересечения прямой, параллельной заданной и проходящей через точку , с координатными плоскостями.
Решение.
1).Запишем уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной данной плоскости. Так как в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять нормальный вектор плоскости , то уравнение прямой запишется в виде:
. Найдем точку пересечения этой прямой и данной плоскости, которая будет проекцией точки на данную плоскость. Для этого надо решить совместно систему уравнений:
, .
Перепишем каноническое уравнение прямой в параметрической форме, вводя параметр : , т.е. . Подставляя эти выражения для в уравнение плоскості, получим , откуда - координаты точки .
Так как точка является серединой отрезка , то координаты симметричной точки найдутся из формул , откуда
. Следовательно, .
3).Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной данной прямой. Так как в качестве нормального вектора такой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой, то уравнение плоскости запишется в виде: или .
Найдем точку пересечения этой плоскости и заданной прямой, которая будет проекцией точки на данную прямую. Для этого надо решить систему уравнений:
, . Как и в п.1 записываем уравнение прямой в параметрическом виде: и подставляем в уравнение плоскости или . Отсюда и .
Координаты симметричной точки находим, используя формулы для координат середины отрезка, т.е.
, откуда . Следовательно, .
3).Угол между плоскостью и прямой вычисляется по формуле , откуда .
4). Уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно прямой записывается в виде . Чтобы найти точку пересечения этой прямой с плоскостью , надо в уравнениях прямой положить : , откуда . Следовательно, .
Аналогично, полагая в уравнениях прямой , получаем координаты точки пересечения прямой и плоскости : , откуда . Следовательно, .
Для получения координат точки пересечения прямой и плоскости , полагаем в уравнениях прямой : , откуда . Следовательно, .