Кафедра ЕН и ОТД
Лабораторная работа № 8
Изучение законов колебания маятников и связанных систем
Заведующий кафедрой ЕН и ОТД:
Проф. Даутов А.И.
Составил: Ст. преподаватель
Медведев И.А.
Кумертау
Изучение законов колебания маятников и связанных систем
Приборы и принадлежности: 1. Установка (система маятников)
2. Штангенциркуль
З. Рулетка
4. Секундомер.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
1.Определение ускорения силы тяжести с помощью математического маятника.
2.Изучение зависимости между периодом колебаний и моментом инерции на примере физического маятника.
З.Изучение колебаний связанных систем.
ТЕОРИЯ МЕТОДА.
Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Простейшими являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний представляет собой интерес по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы любой формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.
Примером гармонических колебаний может служить колебательное движение проекции точки, равномерного движущейся по окружности.
Пусть точка В равномерно движется по окружности радиуса г с угловой скоростью ω (рис. 1), тогда уравнение гармонического колебательного движения проекции этой точки на ось Х будет иметь следующий вид:
Х=А 
Sin 
t
(Рис.1)
Или X=A Sin(2 
/Т) (1)
Здесь Х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия,
А — амплитуда колебания, равная по величине радиусу окружности,
Т — период колебания,
— круговая (циклическая) частота колеблющейся точки, равная:
Где 
- число колебаний в секунду.
= 
- фаза колебания. Фаза колебаний определяет положение колеблющейся точки от положения равновесия, записывается в виде:
X=A Sin (
) (2)
Здесь фаза состоит из переменной части 
и постоянной части 
, которая называется начальной фазой колебания. В частном случае, если = 
/2, уравнение смещения принимает вид:
X=A Cos
Скорость точки V при гармоническом колебании равна:
V=dx/dt=d/dt(A Sin 
= A Cos (3)
Ускорение а при гармоническом колебании точки равно:
a=dV/dt=- 
A Sin (4)
Знак минус говорит о том, что вектор ускорения направлен против вектора смещения.
Гармоническое колебание движения возникает под действием упругой и квазиупругой силы. Примером возникновения колебаний под действием упругой силы может служить идеальный пружинный маятник, у которого пружина абсолютно упруга и не имеет массы, т.е. вся масса маятника сосредоточена в его грузе (рис.2). груз совершает колебания только под действием упругой силы, возвращающей маятник в положение равновесия.
Если рассмотрим колебания какого-нибудь тела, подвешенного на нерастяжимой нити (рис.3), то сила, вызывающая колебания, не является упругой (по своей природе). В данном случае колебания происходят под действием одной из составляющих силы тяжести Р2, которая возвращает маятник к положению равновесия. Силы, не упругие по своей природе, но аналогичные им по виду зависимости от смещения, называются квазиупругими (подобными упругим). Примером гармонических колебаний под действием квазиупругих сил могут служить колебания математического и физического маятника.
(Рис.2)
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Математическим маятником называется тело весьма малой массы (материальная точка), подвешенное на невесомой и нерастяжимой нити и способное совершать колебания вокруг точки подвеса. С достаточной точностью можно считать математическим маятником тяжелый металлический шар, свободно подвешенный с помощью длинной тонкой проволоки к кронштейну.
Пусть имеем тело массой m, подвешенное на расстоянии l от оси О (рис.3). Под действием составляющей Р2=Р Sin математический маятник будет совершать колебания. Эта сила называется квазиупругой, как сила неупругая по своей природе, но аналогичная ей по виду зависимости от смещения. Составляющая Р1 никакого движения не вызывает, ибо уравновешивается силой реакции R. Если угол мал, то синус можно заменить самим углом, тогда:
Р2=-Р =-mg
Возвращающий момент силы Р2:
М= Р2 l =-Р l =-mg l (5)
(рис. 3)
Знак минус показывает, что действующая сила направлена в противоположную сторону отклонения маятника. Согласно основного закона динамики вращательного движения возвращающий момент M=I 
,где I=m l 2 - момент инерции материальной точки, находящийся на расстоянии l от оси О,
- ускорение, равное второй производной смещения по времени, т.е.
= =d2 /dt2
Тогда М=I =m l /(d2 /dt2) (6)
Приравнивая уравнения (5) и (6), получают;
-mg l =m l 2(d2 /dt2); -g =l(d2 /dt2);
d2 /dt2=-(g/ l) или =(-g/ l)
Обозначим g/ l через 
, тогда:
(7)
где - собственная циклическая частота колебаний математического маятника. Уравнение (7) для углового смещения маятника аналогично дифференциальному уравнению гармонических колебаний под действием упругих сил:
X=d2x/dt=- 
, (8)
Где x - смещение,
Х= d2x/dt2 - ускорение рассматриваемой материальной точки. Поэтому X= f (t) является периодической функцией с периодом
Т=2 / =2 
(9)
Период колебаний математического маятника при малых углах определяется
по формуле: Т=2
данная формула является приближенной. Более точная формула для всех
углов: Т=2 (1+ 
Sin(2 /2))
Пользуясь приближённой формулой для периода колебания математического маятника, можно рассчитать ускорение силы тяжести g.
Вес тела является равнодействующей 2-х сил: силы притяжения к Земле и центростремительной силы, обусловленной вращением Земли. Вес тела вблизи поверхности Земли зависит от географической широты места и от высоты его над уровнем моря. По мере увеличения высоты вес тела уменьшается, т.к. уменьшается притяжение между Землёй и телом. (F= 
(mМ/г2)). Зависимость веса от широты обуславливается двумя причинами:
1 Земля представляет собой не шар, а эллипсоид вращения (радиусы у полюсов меньше, чем у экватора).
2. На все тела, лежащие на поверхности Земли и участвующие в её суточном вращении вокруг оси, действует центростремительная сила, величина которой зависит от широты места.
Как показали измерения, зависимость ускорения свободного падения от широты места выражается формулой:
gy=g0(1-(Cos2 /189)),
Где gy - ускорение свободного падения на широте,
g0 - ускорение на уровне моря на широте полюса,
- географическая широта места.
От высоты ускорения g зависит следующим образом: по мере увеличения высоты ускорение уменьшается на каждый метр подъёма на две-три десятимиллионные доли того значения, которое эта величина принимает над уровнем моря.
Опытное определение g имеет как научное, так и практическое значение. Например, опытное определение является одним из широко распространённых методов геологической разведки. Гравитационные аномалии связаны с нахождением под земной поверхностью больших скоплений пород (железных руд). Гравиметрические методы применяются и для определения формы Земли.
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК.
Физическим маятником называется твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, несовпадающей с его центром инерции (рис.4).
Пусть имеется физический маятник весом Р и моментом инерции J. Если отклонить маятник на небольшой угол от положения равновесия, он будет совершать гармонические колебания под действием квазиупругой силы:
P2=P Sin
Составляющая Р1 уравновешивается реакцией опоры. Возвращающий момент силы Р2 равен: М=-Р2a,
М =- Р2a=-Ра Sin =m aSin (10)
(рис. 4)
Согласно второго закона динамики вращательного движения:
М=J (11)
Из уравнений (10) и (11) получают: J =-mga*Sin
Знак минус поставлен потому, что квазиупругая сила Р2 всегда направлена в сторону противоположную смещению маятника:
Sin ˜ =d2 /dt2
Дифференциальное уравнение колебаний физического маятника записывается в виде:
d2 /dt2=(mga/J)* (12)
Сравнивая уравнение (12) с уравнением (8) колебаний под действием упругих сил, получают для циклической частоты:
2=4π2/T2=mga/J, (13)