Занятие 1
Система аксиом Пеано. Применение метода математической индукции к решению задач
I. Проверка домашнего задания.
А. Сформулировать ответы на вопросы 1-7.
1.Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля. Какие рисунки вы изобразите на странице учебника, знакомя детей с числом четыре?
2.Из каких потребностей человека возникли натуральные числа?
3.Сформулируйте определение натурального числа как результата измерения величины.
4.В чем сущность аксиоматического метода в математике? Что такое основные понятия, аксиомы, постулаты, теоремы? Какие предложения могут быть приняты за аксиомы?
5.Назовите основные понятия и аксиомы при аксиоматическом построении арифметики целых неотрицательных чисел. Чье имя носят аксиомы?
6.Сформулируйте определение натурального, целого неотрицательного числа.
7.Покажите, что множество целых неотрицательных чисел является моделью аксиом Пеано. Можно ли считать моделью аксиом Пеано множество 3, 4, 5, 6 …,?
Б. Проверка задач решенных дома.
Задачник- практикум по математике под ред. Н. Я. Виленкина
7.10 (а, в) 7.1, 7.2.
II. Работа в аудитории.
Задачи из задачника-практикума под ред. Н. Я. Виленкина.
1. 7.3 -7.5
2. 7.10 (д, е)
3. Доказать, что для любого натурального числа:
а) (72n-1) делится на 3 б) (32n+1+1) делится на 4
Задание на дом:
1. 7.10 (3,4)
2. Доказать, что для любого натурального числа (36n-1) делится на 5,
(49n-1) делится на 8.
Повторить:
1.формулу решения квадратного уравнения
2.разложение на множители квадратного трехчлена ах2+вх+с
3.разложите на множители к2+2к, 3к(к+1)+(к+1)2, к2+6к+к+6, 7к2-3к-10, 2к2+3к+1
Занятие 2
Применение метода математической индукции к решению задач на доказательство
I.Проверка домашнего задания
А. Ответы на вопросы:
1.Что такое метод математической индукции?
2.Назовите шаги доказательства утверждения p(n) методом математической.
3.Какие тождества преобразования вы знаете?
Б. Проверка задач, которые решали дома (см. план 1-ого занятия)
II.Работа в аудитории.
1.Н. Я. Виленкин 7.10(л)
2.Доказать,что для любого натурального числа (32n+1+1) делится на 4
(n3+3n2+5n) делится на 3
III. Задание на дом:
А. Аксиоматический подход к сложению и умножению. Ответить на вопросы
1. Определение сложения целых неотрицательных чисел. Как называются
Числа при сложении? Как называется результат сложения?
2. Определение суммы а и в, если а=m(А), b=m(В).
3. Определение суммы n и k, если n=me(a), k=me(b)
4. Следствия из аксиом сложения и их доказательство.
5. Определение умножения целых неотрицательных чисел. Как называются числа при умножении? Как называется результат умножения?
6. Определение произведения a и b через сложение.
7. Определение произведения n и k, если числа являются мерами величин.
8. Следствие из аксиом умножения и их доказательство.
9. Найти 4+3 и 4*3, используя аксиоматический подход.
Б. Решить задачи:
а) Виленкин 7.10(ж)
б)доказать, что (n3+5n) делится на 6
Занятие 3
Аксиоматический подход к сложению и умножению целых неотрицательных чисел.
I.Проверка домашнего задания
А. ответы на вопросы.
Б. обсуждение задач, которые решали дома.
II.Работа в аудитории:
1. Доказать:
1) 0+а=а, где а Є N0.
2) (а+ в)+с=а+(в+ с), а, в, с Є N0 по в
3) 0*а=0, а Є N0
4) (а+ в)с=ас+ вс, по в
2. Работа по индивидуальным карточкам
III.Задание на дом:
А. Вычитание, как действие, обратное сложению.
Ответить на вопросы:
1. Почему вычитание считают действием, обратным сложению? Как называются числа при вычитании? Как называется результат вычитания? Известно, что 44+15=59 перейдите к вычитанию. Определение разности чисел а и в.
2. Необходимое и достаточное условие существования разности натуральных чисел, целых неотрицательных чисел.
3. Докажите, что 45-14=31 64-11ⱡ52
4. Как найти неизвестное уменьшаемое? Как найти неизвестное вычитаемое?
5. Определение отношения меньше для целых неотрицательных чисел. Свойства отношения.
6. Доказать: 1)а′+ в= (а+ в)′, по в, 2)а(в+ с)= ав+ ас по с
Занятие 4
Вычитание целых неотрицательных чисел
I.Проверка домашнего задания
А. Ответы на вопросы
Б. Обсуждение задач, которые решали дома
II. Работа в аудитории.
1. Изменение суммы и разности в зависимости от изменения компонентов.
| а | в | а+в |
| -100 | +50 | ? |
| +150 | +150 | ? |
| -6 | -5 | ? |
| +18 | -12 | ? |
| ? | -9 | -12 |
| ? | +65 | +8 |
| ? | +3 | -7 |
Табл.1
| а | в | а-в |
| +50 | -40 | ? |
| -80 | +25 | ? |
| +90 | +100 | ? |
| -80 | -120 | ? |
| -30 | -30 | ? |
| +70 | ? | +100 |
| -60 | ? | -80 |
| ? | +10 | -45 |
| ? | -28 | +40 |
| +45 | +45 | ? |
Табл.2
2. Решение текстовых задач.
111)В городе 4 района. Как изменится за год население города, если за год число жителей в одном районе увеличилось на 217 человек, в другом уменьшилось на 98 человек, в третьем уменьшилось на 128 человек, в четвертом увеличилось на 230 человек?
112)В первом баке керосина на 250 л. меньше, чем во втором. Из второго бака перелили в первый 125л. В каком из баков стало керосина больше и на сколько?
113)Разность двух чисел 21513. Какова будет разность, если в уменьшаемом цифру тысяч 4 заменить цифрой 7, а в вычитаемом цифру тысяч 3 заменить цифрой 8 и цифру десятков 0 заменить цифрой 6?
114)На первой полке на 23 книги больше, чем второй. Как изменится разность между числом книг на полках, если с первой полки переложить на вторую 11 книг?
116)Плата за квартиру на 3 рубля больше платы за газ, а плата за электричество на 2 рубля меньше платы за квартиру. Что больше: плата за газ или за электричество и на сколько?
3. Решить уравнения на основе зависимости между компонентами и результатом.
а) 90+(70-х)=100
б)100+(х-70)=90
в)(170-х)-50=40
4. Вычислить значение выражения разными способами.
5. Закончите предложение так, чтобы получилось истинное высказывание
(а+ в)-с=...или (а+ в)-с=…
а-(в+ с)=… или а-(в+ с)=…
а-(в- с)=…или а-(в- с)=…
Приведите примеры таких выражений, найдите их значение разными способами.
III.Задание на дом
А. Деление, как действие обратное умножению.
Ответить на вопросы:
1. Почему деление считают обратным умножению? Как называют числа при делении? Как называется результат деления? Известно, что произведение 15 и 3 =45. Перейдите к делению.
2. Определение частного а и в. Докажите, что деление не определено при в=0.
3. Как найти неизвестное делимое? Как найти неизвестный делитель?
4. Деление произведения на число, деление числа на произведение, деление числа на частное.
Б. Задания из плана занятия, №4 которые не были решены.
В. Решить уравнения на основе зависимости
а) 400: (200: (10002-(х+ 2926)- 9661))=8
б)315: (36- (115+29/5х-198 *3+15))=21
Занятие 5