Программа курса Высшей алгебры и теории чисел,
Математики, 3 семестр, 2011 год
I. Полилинейная алгебра
1. Определение алгебры, различные типы, гомоморфизмы алгебр, свойства гомоморфизмов, примеры.
2. Задание алгебры на произвольном векторном пространстве, структурные константы алгебры
3. Алгебра кватернионов, групповая алгебра
4. Алгебра Грассмана
5. Внешняя алгебра, задание с точностью до изоморфизма
6. Определение детерминанта матрицы с помощью внешней алгебры, простейшие свойства (перемена местами строк, определитель произведения матриц)
7. Определение детерминанта матрицы с помощью внешней алгебры, определитель ступенчатой матрицы
8. Формула Бине-Коши
II. Тензорное произведение
1. Сопряжённое (двойственное) пространство, размерность
2. Двойственный базис, изоморфизм пространства и сопряжённого к нему
3. *Двойственное к сопряжённому пространству, изоморфизм (канонический) пространства и дважды сопряжённого к нему, утверждение о существовании сопряжённого базиса к базису двойственного пространства.
4. Определение тензорного произведения векторных пространств с помощью прямого произведения пространств.
5. Тензорное произведение модулей, примеры
6. Базис тензорного произведения, размерность тензорного произведения конечномерных пространств
7. Универсальное свойство тензорного произведения
8. Расширение поля скаляров с помощью тензорного произведения
9. Теорема об эквивалентных свойствах билинейного отображения векторных пространств
10. Определение тензорного произведения пространств с помощью билинейного отображения, существование и единственность (с точностью до изоморфизма)
11. Основной принцип тензорной алгебры, свойства коммутативности и ассоциативности тензорного произведения
12. Теорема об изоморфизме пространства р-линейных (полилинейных) функций р- пространств в пространство U и пространства линейных функций тензорного произведения этих пространств в заданное пространство U.
13. Теорема о размерности пространства р-линейных функций в заданное пространство U.
14. Тензорное произведение полилинейных функций, определение и простейшие свойства.
15. Теорема о тензорном произведении базисов сопряжённых пространств.
16. *Теорема об изоморфизме сопряжённого пространства тензорного произведения пространств и тензорного произведения пространств, сопряжённых к заданным.
Алгебраические расширения и теория Галуа
1. Алгебраическое расширение колец, конечнопорождённые расширения, примеры,
2. Теорема о базисе расширения полей
3. Теорема о факторизации кольца многочленов по идеалу, порождённому неприводимым многочленом.
4. Минимальный многочлен элемента, существование и единственность., неприводимость
5. Теорема о расширении поля, полученном присоединением корня неприводимого многочлена.
6. *Теорема о конечном расширении поля нулевой характеристики (простое расширение)
7. Теорема о равносильности условий для конечного расширения полей
8. Теорема об алгебраическом замыкании в расширении полей
9. Поле разложения многочлена, существование и единственность
10. Конечные поля,теорема о существовании и единственности поля из p^n элементов
11. *Теорема о конечной подгруппе мультипликативной группы поля
12. Группа автоморфизмов расширения полей, Определение расширения Галуа
13. Лемма о продолжении автоморфизма в простом расширении, полученном присоединением корня неприводимого многочлена
14. Теорема о порядке группы автоморфизмов
15. Определение нормального, сепарабельного расширения, теорема о расширении Галуа (без доказательства) Препятствия к возможности расширения Галуа. Примеры
16. Теорема о сепарабельном многочлене со следствиями.
17. Лемма о многочлене, порождённом орбитой элеманта
18. Лемма Штейница
19. Лемма о объединении пространства в конечное число собственных подпространств
20. * Теорема о подгруппе в группе автоморфизмов и условии для расширения Галуа (без леммы о объединении пространства в конечное число подпространств).
21. Формулировка основной теоремы теории Галуа, поле неподвижных элементов относительно подгруппы группы Галуа,
лемма о подполе неподвижных элементов
22. Формулировка основной теоремы теории Галуа, доказательство взаимно-однозначного соответствия подполей и подгрупп
23. * Формулировка основной теоремы теории Галуа, доказательство о фактор-группе группы Галуа по нормальному делителю и соответствующему подполю.
Программа коллоквиума 3 семестр,
Поток математики.
Октябрь 2011
I. Форма Фробениуса для операторов
- Аннулирующий многочлен вектора, существование, единственность минимального.
- Аннулирующий многочлен вектора, основные свойства
- Теорема Кэли-Гамильтона как следствие основных свойств аннулирующего многочлена вектора
- Примарное пространство, простейшие свойства; циклическое примарное подпространство, неразложимость.
- Основная теорема о разложении пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств.