STATISTICAL PROPERTIES OF SAMPLE ESTIMATION OF HERST EXPONENT
Жалова Мария
(г.Санкт-Петербург, Вторая С-Пб гимназия императора Александра I, 112 класс, С-Пб Научно-образовательная программа для старшеклассников «Земля и Вселенная»)
Научный руководитель: Тронь А.А., Президент Научно-образовательного объединения «Земля и Вселенная»
We are studying sample properties of the R-S statistics, known as Herst exponent.
It is shown that in the case of independent measurements the density distribution of the Hest statistics is approaching to the universal function and we propose an
algorithm of its calculation. The results of our work can be used in confidence limits
estimation of Herst exponent empirical estimations.
Показатель Херста связан с коэффициентом нормированного размаха, где R(n) — "размах" – разность между максимальным и минимальным значением накопленного размаха равременного ряда, а S(n) – среднеквадратичное отклонение ряда длиной n. В свое время Херст [1] экспериментально определил, что для многих временных рядов справедливо: 
. Именно коэффициент γ известен как показатель Херста,. представляющий собой меру персистентности — склонности процесса к трендам. Если γ >0.5, то направленная в определенную сторону динамика процесса в прошлом, вероятнее всего, вызовет продолжение движения в том же направлении, при γ < 0.5, то прогнозируется, что процесс изменит направленность. γ = 0.5 означает неопределенность — броуновское движение х.
Показатель Херста широко используется в геофизике, сейсмологии, экономике, техническом анализе, обработке медицинских данных, однако не так подробно исследованы свойства выборочрной R/S статистики, что мы попытались зделать в нашей рботе.
Величина выборочного накопленного размахапредставляет собой случайную величину равную сумме отклонений от среднего на длине n z2 = x1- 
. Если принять независимость отсчетов xi, то плотность распределения величины z2 является сверткой плотностей распределения z1 и x2- [2], а плотность распределения z3 является сверткой распределений z2 и x3- и т.д. Обозначим плотность распределения z1 за f1(z), z2 за f2(z) и т.д. Тогда итоговое распределение максимума из величины zi дается соотношением [3]: 
Поскольку 
, то 
(1)
Тогда плотность распределения выборной статистики R дается сверткой функций 
и 
при условии независимости величин zi. Окончательное распределения случайной величины 
получается при учете распределения выборочного среднеквадратичного уклонения 
, τ = n В общем случае это выражение весьма сложно, поэтому в качестве иллюстративного примера мы рассматриваем случай 
В качестве примера рассмотрим поведение независимых нормальных отсчетов xi и zi, т.е. f и F являются функциями нормального распределения и интегрального нормального распределения. При этом, если случайная величина xi представляет собой выборку из нормального случайного процесса, то среднеквадратичное уклонение случайной величины zi растет с номером i как 
. Поэтому показатель Херста для процесса Броуновского движения — процесса случайных блужданий под действием независимых столкновений — равен 0.5. На Рис.1 приведено модельное распределение величины 
для 
=2 и дисперсией z1 равной 1, полученное с помощью математического пакета MAPLE 13. Для большего числа отсчетов время вычисления резко возрастает.
Полученные оценки могут использоваться при оценке величины математического ожидания R/S статистики как основы статистического анализа при определении показателя Херста и для оценки среднеквадратичного уклонения этой выборочной статистики..
Сравнение оценок γ с использованием распределения (1) и выборочной оценки по динамике числа ежегодных вулканических извержений [4] показывает удовлетворительное согласие.
Рис. 1. Плотность распределения выборочной статистики R(τ) для τ =2 и дисперсией z1 равной 1.
Литература.
[1] Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. – М., Мир, 1991 – 254 с.
[2] Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков. Глав. ред. физ-мат..лит. «Наука», 1974, 264 с.
[3] Э.Гумбель (1965), Статистика экстремальных значений, Москва,«Мир».
[4]. A. N. ZEMTSOV, A. A. TRON. STATISTICAL PROPERTIES AND TIME TREND IN THE NUMBER OF HOLOCENE VOLCANIC ERUPTIONS. Advances in Geosciences Vol. 13: Solid Earth (2007) Ed. Kenji Satake, World Scientific Publishing Company