■
Задача 8. Имеются следующие исходные данные (n =24):
- 
- корреляция между х и у отрицательная;
- значение критерия Фишера для линейной регрессии составило 17.
Определить:
- коэффициент детерминации;
- уравнение линейной регрессии;
- средний по выборке коэффициент эластичности (для линейной зависимости);
- доверительный интервал прогноза с вероятностью 0,9 при значении фактора на 15% выше среднего уровня.
Решение.
1. Коэффициент детерминации определяем из выражения:
, откуда 
2. Построение уравнения линейной регрессии начинаем с вычисления коэффициента регрессии с помощью выражения:
, откуда 
.
Учитывая, что корреляция отрицательная, получим:
Значения стандартных отклонений по каждой переменной найдем с использованием коэффициентов вариации:
, откуда 
и аналогично для у:
Таким образом,
Свободный член определим из выражения:
Запишем уравнение линейной регрессии:
.
3. Средний по выборке коэффициент эластичности находим из выражения для линейной зависимости:
4. Доверительный интервал прогноза по линейному уравнению регрессии построим по выражению:
Серединой доверительного интервала является прогнозное значение зависимой переменной, полученное при значении фактора, равном
Отсюда прогнозное значение получаем подстановкой в уравнение регрессии:
Табличное значение статистики Стьюдента:
Стандартная ошибка прогноза индивидуального значения определяется по выражению:
Рассчитаем отдельные компоненты этого выражения:
- 
;
- поскольку 
, можно записать 
;
- поскольку 
, то 
(по аналогии с предыдущим); тогда 
Отсюда стандартная ошибка равна
Теперь строим доверительный интервал прогноза:
■
Задача 9. По выборке из 16 предприятий холдинга была построена следующая регрессионная зависимость объема продаж у (тыс. руб.) от расходов на рекламу х (тыс. руб.):
- 
Задание:
- определить коэффициент корреляции;
- построить таблицу дисперсионного анализа для оценки значимости уравнения регрессии в целом;
- оценить значимость коэффициента регрессии;
- построить доверительный интервал для коэффициента регрессии с вероятностью 0,9 и сделать вывод.
Решение.
1. Коэффициент корреляции находим с помощью формулы:
2. Для построения таблицы дисперсионного анализа найдем значения различных СКО в балансовом выражении (13):
Общ.СКО= 
Факт.СКО=Общ.СКО 
Ост.СКО=Общ.СКО-Факт.СКО=1008,6-233,35=775,25.
Отсюда строим таблицу:
| Вариация | СКО | df | Дисперсия на 1 степень свободы | Fнабл= 
|
| Общая | 1008,6 | n-1 =15 | - | - |
| Факторная | 233,35 | 233,35 | 4,214 | |
| Остаточная | 775,25 | n-2 =14 | 55,375 |
3. Для нахождения стандартной ошибки оценки коэффициента регрессии можно воспользоваться формулой:
или формулой:
, где 
откуда
4. Значимость коэффициента регрессии определяем через t - критерий Стьюдента:
Проверка нуль - гипотезы 
против альтернативной 
показывает, что параметр b значим на уровне 0,1 и не значим на уровнях 0,05 и 0,01.
5. Доверительный интервал для коэффициента регрессии на уровне значимости 0,1 строим по соответствующей формуле:
или
Он накрывает неизвестное значение параметра с вероятностью 0,9; границы интервала имеют одинаковые знаки, поэтому на уровне 0,1 параметр статистически значим.
■