Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Рациональные функции от двух переменных.

Определение: многочленом степени n от двух переменных x, y, называется выражение , в котором через обозначены некоторые постоянные числа, часть из которых может быть равна нулю, а среди есть хотя бы одно число, отличное от нуля.

Рациональной функцией от двух переменных x, y, называется выражение вида: , где -многочлен степени m, от переменных x, y. -многочлен степени n, от переменных x, y.

Относительно рациональных функций от двух переменных справедливо утверждение.

Если - рациональная функция от двух переменных

, , - рациональные функции от одной переменной t,

то выражение R(, ) является рациональной функцией от одной переменной t.

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

Рассмотрим вопрос об интегрировании выражения , где - некоторая рациональная функция от двух переменных. Покажем, что рационализируется с помощью универсальной тригонометрической подстановкой, , выразим величины sin x и cos x через :

аналогично легко получить выражения cos x:

видим, что величины sin x и cos x рационально выражаются через переменную t, осталось показать, что дифференциал dx также рационально выражается через переменную t.

Таким образом, видим, что рассматриваемый интеграл сводится к рациональной функции от одной переменной.

Пример: Вычислить интеграл.

Не смотря на то, что универсальная тригонометрическая подстановка рационализирует широкий класс функций её применение достаточно громадно, часто удается вычислить конкретный интеграл без её применения.

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Дробно-линейной иррациональностью называется, выражение вида: , где n-натуральное число.

Покажем, что иррациональность такого типа убирается с помощью подстановки

то есть получили интеграл от рациональной функции переменной t.

Пример: Вычислить интеграл.

Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Квадратичной иррациональностью называется выражение вида: где a, b, c – некоторые вещественные числа, R(x, y)-рациональная функция от двух переменных.

Будем считать, что квадратный трехчлен не имеет кратных корней. Покажем, что интеграл от выражения такого типа рационализируется с помощью подстановок Эйлера.

Рассмотрим сначала случай, когда квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Так как трехчлен стоит под знаком квадратного радикала, то его значения должны быть не отрицательны . Покажем, что в этом случае может быть использована первая подстановка Эйлера.

найдем значения х через величину t.

, , , .

Найдем величину дифференциала dx:

, .

То есть дифференциал х является рациональной функцией переменой t.

Найдем выражение для квадратного радикала:

Таким образом, квадратичная рациональность интеграла принимает вид:

Если величина С неотрицательна, то для рационализации может быть использована вторая подстановка Эйлера.

введем новую переменную

, , ,

Видим, что вторая подстановка Эйлера также рационализирует квадратичную иррациональность.

Рассмотрим случай, когда имеет действительные корни, то есть многочлен можно представить в виде: , где - корни квадратного трехчлена. В этом случае рационализация достигается с помощью третьей подстановки Эйлера, которая имеет вид: