Расчеты на прочность и жесткость с учетом сил инерции

Тема 19. Динамические задачи сопротивления материалов. Расчеты на прочность и жесткость с учетом сил инерции, при ударе и колебаниях

19.1. Актуальность проблемы. Определение и классификация динамических задач

В предыдущих разделах курса в основном рассматривались методы расчетов на прочность и жесткость деформируемых тел, находящихся под действием статически уравновешенной системы сил и при статическом нагружении. В таком случае активные силы изменяются плавно, так что ускорения точек тела малы и инерционными силами, по сравнению с активными силами, можно пренебречь. Если система сил, действующих на тело, статически не уравновешена, то возникает движение всего тела и отдельных его точек, ускорения при этом могут быть достаточно велики, а инерционные силы сопоставимы по величине с активными силами или даже их превышают. Так, при больших скоростях вращения возникают значительные центростремительные ускорения в дисках и лопатках турбин, большие линейные ускорения возникают в элементах конструкции ЛА при его маневрировании.

Задачи расчета элементов конструкции, отдельные точки которых или элемент в целом перемещаются с ускорениями, называют динамическими задачами сопротивления материалов. Условно динамические задачи подразделяют на классы.

1. Если по условиям работы конструкции силы, а следовательно, и ускорения не изменяются во времени или изменяются плавно и монотонно, то, определяя ускорения, а затем и силы инерции, динамическую задачу в соответствии с принципом Даламбера можно свести к статической задаче, когда в число активных сил включают и силы инерции (нагружение лопасти несущего винта). Такой тип задач - задачи на учет сил инерции.

2. Если действующие на конструкцию силы изменяются во времени не монотонно, а например, периодически, то могут возникать колебания конструкции. В этом случае приходится анализировать движение конструктивных элементов, устанавливать закон движения и определять перемещения, а затем и напряжения. Этот тип задач относится к задачам на колебания.

3. В ряде случаев нагрузки действуют в течение достаточно короткого промежутка времени, т.е. возрастают резко. Такие нагрузки называют ударными, а соответствующий класс задач расчетами на удар. Ударное нагружение возникает, например, в случае удара по упругому элементу конструкции некоторого тела, движущегося с определенной скоростью. Сила, возникающая в момент соударения, неизвестна, а скорость ударяющего тела и характер удара (упругий или неупругий) известны.

Расчеты на прочность и жесткость с учетом сил инерции

Напомним принцип Даламбера.

Если в любой момент времени к каждой точке системы, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно применять все уравнения статики.

Силой инерции называют векторную величину, равную по модулю произведению массы на ускорение и направленную противоположно этому ускорению. Во многих случаях ускорения точек деформируемого тела могут быть найдены из анализа условий его работы. При известных ускорениях задача расчета на прочность и жесткость приводится к случаю статического действия нагрузок путем использования принципа Даламбера. Поясним алгоритм решения задачи на примере.

Пусть груз весом Q, подвешенный на тросе площадью поперечного сечения F, поднимается с помощью лебедки с ускорением . Весом троса пренебрегаем. Требуется определить напряжения в тросе и его удлинение (рис. 19.1).

Рис. 19.1. Определение напряжений в тросе при подъеме груза

Выделим участок троса длиной z (рис.19.1б). Если бы груз поднимался с постоянной скоростью (без ускорения), то на рассматриваемый участок троса действовала бы сила веса груза и внутренняя продольная сила Nz. При подъеме с ускорением в соответствии с принципом Даламбера прикладываем дополнительную внешнюю силу (сила инерции груза). Здесь g – ускорение свободного падения. Таким образом, динамическую задачу удалось свести к статической. Тогда можем записать условие равновесия по оси z - и найти по методу сечений нормальную силу :

.

Напряжения в сечении z будут равны:

(19.1)

Величина представляет собой напряжения в тросе при статическом приложении нагрузки, а - динамический коэффициент. Если ускорение будет направлено вниз (начальный период опускания груза), то в выражении для динамического коэффициента изменится знак второго слагаемого и при напряжения в тросе будут отсутствовать.

Перемещение произвольного сечения при будет равно удлинению верхней части стержня (от заделки в шкив до текущего сечения)

.

Координата изменяется в пределах Наибольшее перемещение наблюдается в точке крепления груза к тросу и численно равно его удлинению:

(19.2)