1. Приведите классическое определение вероятности и укажите, при соблюдении каких условий оно применимо.
2. Исходя из трех аксиом теории вероятностей, докажите, что вероятность любого события А подчиняется неравенству Р(А) < 1.
3. Дайте определение события А, противоположного событию А. Докажите, исходя из трех аксиом теории вероятностей, что Р(А) = 1 - Р(А').
4. Если из появления события В непременно следует появление события А, то что представляют собой события А + В и АВ?
5. Если появление события В непременно влечет за собой появление события А, то как в этом случае соподчинены противоположные им события А и В?
6. В условиях, при которых верна классическая формула вероятности (т. е. для опыта с конечным числом равновозможных элементарных исходов), докажите, что вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.
7. Приведите формулу вероятности суммы двух совместных событий А и В. Пользуясь классическим определением вероятности, докажите эту формулу для опыта с конечным числом равновозможных элементарных исходов.
8. Приведите пример какого-либо опыта с конечным числом элементарных исходов, в условиях которого нельзя исчислять вероятности событий по формуле классического определения вероятности.
9. Приведите известные вам формулы комбинаторики, которые используются при непосредственном исчислении вероятности по её классическому определению.
10. Приведите определение условной вероятности.
11. Зависимость и независимость двух событий (определение).
12. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.
13. Сформулируйте условие, при котором для вычисления вероятности р(а^в) следует применять теорему умножения для зависимых событий. Приведите формулировку этой теоремы.
14. Сформулируйте условие, при выполнении которого можно утверждать, что событие А не зависит от события В?
15. Сформулируйте условие, при выполнении которого можно утверждать, что событие А зависит от события В?
16. Сформулируйте условие, при выполнении которого можно утверждать, что событие В зависит от события А.
17. Докажите, что два несовместных события А и В (с положительными вероятностями наступления) всегда являются зависимыми.
18. Сформулируйте условия, при выполнении которых можно утверждать, что гипотезы Н1, Нг, Нп образуют полную группу событий.
19. Сформулируйте условия, при выполнении которых можно для вычисления вероятности некоторого события А можно использовать формулу полной вероятности. Приведите формулировку и краткое доказательство формулы полной вероятности.
20. Сформулируйте условия, при выполнении которых применяется теорем Байеса. Приведите формулировку и краткое доказательство этой теоремы.
21. Функция распределения случайной величины и её свойства
22. Функция плотности распределения вероятности и её свойства
23. Ряд распределений дискретной случайной величины и его свойство.
24. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
25. Дисперсия дискретной случайной величины и её свойства. Среднее квадратичное отклонение СВ.
26. Математическое ожидание непрерывной случайной величины и его свойства
27. Дисперсия непрерывной случайной величины и её свойства. Среднее квадратическое отклонение СВ.
28. Нахождение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал через F(x), через/(*), через ряд распределения. Вероятность принять конкретное числовое значение для дискретной и непрерывной случайной величины.
29. На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для математического ожидания биномиально распределенной случайной величины.
30. На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для дисперсии биномиально распределенной случайной величины.
31. Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до п с равной вероятностью. Вывести выражение для математического ожидания этой случайной величины.
32. Случайная величина принимает целые значения в промежутке от 0 до п с равной вероятностью. Вывести выражение для дисперсии этой случайной величины.
33. Вывести выражение для математического ожидания альтернативно распределенной случайной величины.
34. Вывести выражение для дисперсии альтернативно распределенной случайной величины.
35. Вывести выражение для математического ожидания случайной величины, распределенной по закону Пуассона.
36. Вывести выражение для дисперсии случайной величины, распределенной по закону Пуассона.
37. Вывести выражение для математического ожидания случайной величины, распределенной по геометрическому закону.
38. Вывести выражение для дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону.
39. Числовые характеристики случайных величин, распределенных по биномиальному, геометрическому закону и закону Пуассона (значения мат. ожидания и дисперсии)
40. В каких ситуациях на практике возникают биномиальное и геометрическое распределения?
41. Предельным законом для какого распределения является распределение Пуассона? Какие значения может принимать случайная величина, распределенная по закону Пуассона?
42. Плотность распределения и функция распределения равномерной случайной величины, ее числовые характеристики.
43. Плотность распределения и функция распределения показательной случайной величины, ее числовые характеристики.
44. Плотность распределения и функция распределения нормальной случайной величины (распределение Гаусса), ее числовые характеристики.
45. Функция Лапласа, ее свойства.
46. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок, правило «трех сигм».
47. Функции случайных величин и их числовые характеристики.
48. Числовые характеристики случайных величин, распределенных по равномерному, показательному и нормальному законам (значения мат. ожидания и дисперсии).
49. Дайте определение совместной функции распределения двумерной случайной величины и укажите ее свойства. Обоснуйте эти свойства и/или приведите примеры их выполнения.
50. Что такое совместный ряд распределений дискретной двумерной случайной величины? Укажите его свойства. Как построить по этому ряду распределения ряды распределения компонент дискретной двумерной случайной величины?
51. Что такое совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины? Укажите ее свойства. Как построить по плотности совместного распределения плотности распределения и функции распределения компонент этой непрерывной двумерной случайной величины?
52. Сформулируйте определение и напишите формулу для вычисления корреляционного момента (коэффициента ковариации) двух случайных величин. Докажите, что для независимых случайных величин его значение равно нулю.
54. Понятие генеральной совокупности, выборки из нее. Представление выборки в виде вариационного ряда. Определение вариационного ряда.
55. Эмпирическая функция распределения, ее свойства, способ построения по выборке.
56. Понятие оценок числовой характеристики или параметра случайной величины. Свойства оценок.
57. Нахождение несмещенной оценки генеральной средней (математического ожидания) случайной величины.
58. Нахождение несмещенной и смещенной оценок генеральной дисперсии случайной величины.
59. Понятие гистограммы частот, способ построения, пример.
60. Оценка плотности распределения выборки, ее свойства, способ построения.
61. Понятие точечных и интервальных оценок (доверительных интервалов) параметров случайной величины. Определения. Примеры.
62. Свойства точечных оценок параметров: несмещенность, состоятельность, эффективность (определения).
63. Определение и свойства оценок: выборочного среднего, выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии.
64. Отличие относительной частоты события от его вероятности по предельной теореме Бернулли (по следствию из теоремы М-Л).
65. Выборочный коэффициент ковариации (формула).
66. Доказать, что выборочное среднее является состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания.
67. Доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии.
68. Доказать, что исправленная выборочная дисперсия является несмещенной оценкой дисперсии.
69. Какими понятиями определяется интервальная оценка параметра? Какая существует между ними связь в виде формулы?
70. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью у) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии (вывод).
71. Построение интервальной оценки (доверительного интервала) (с надежностью у) математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии (вывод).
72. Интервальная оценка дисперсии случайной величины по выборке при известном и неизвестном математическом ожидании (формулы)
73. Вывести оценку требуемого объема выборки для построения доверительного интервала заданной длины для математического ожидания в случае нормального распределения.
74. Назначение и суть метода моментов.
75. Сформулируйте основной принцип статистической проверки гипотез.
76. Что такое ошибка 1-го рода?
77. Что такое ошибка 2-го рода?
78. Что такое критическая область?
79. Что такое уровень значимости?
80. Что такое мощность критерия?
81. Какой критерий называется наиболее мощным?
82. Что такое критерий согласия?
83. Сформулируйте критерий согласия X 1.
Примечание: вопросы по мат. статистике (в основном, по разделу парная линейная регрессия и анализ временных рядов) могут быть дополнены (изменены), о чем будет объявлено немедленно.