Тождественные преобразования




1. (1 балл) Вычислить

Решение.

Ответ. -6

 

1 балл Верно раскрыт квадрат разности, приведены подобные, вынесен общий множитель. Получен верный ответ.
  0,5 баллов Ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, которая привела к неверному ответу.
0 баллов Решение неверное. Задача не подходит ни под один из критериев

2. (1 балл) Сократите дробь

Решение. .

1 балл Правильно выполнено разложение на множители в числители и знаменателе. Получен верный ответ.
0,5 баллов Ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, которая привела к неверному ответу.
0 баллов Решение неверное. Задача не подходит ни под один из названных критериев.

 

3. (2 балла) Задание а) необходимо выполнять тем, кто по программе изучал логарифмы, задание б) – тем, кто изучал производную. Баллы выставляются только за одно из заданий или за а) или за б).

а) Найдите значение выражения

Решение.

Ответ: 1,75

 

2 балла Верно выполнены все вычисления. Получен ответ.
1 балл Ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, которая привела к неверному ответу.
0,5 баллов Предприняты попытки разложить разность квадратов, но действия не доведены до конца, ответ не получен.
0 баллов Решение неверное. Задача не подходит ни под один из названных критериев

 

б) Прямая является касательной к графику функции Найдите значение параметра , учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля.

Решение. .Так как , а точка касания принадлежит данной параболе и прямой , то получаем систему

. Из системы находим Учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля, получаем . Подставляем в первое уравнение системы находим

Ответ: -33.

 

2 балла Верно найдены все значения. Получен правильный ответ.
1 балл Нашли производную функции, выписали уравнения касательной в точке с абсциссой . Выписана система, но из-за вычислительной ошибки неверно найдены значения, либо верно найдено только значение .
0,5 баллов Верно найдена только производная функции
0 баллов Решение неверное. Задача не подходит ни под один из названных критериев

 

4. (2 балла) Зная, что найдите отношение неполного квадрата суммы чисел и к неполному квадрату их разности.

 

Решение. Запишем дробь, согласно условию задачи . Вынесем за скобку в числителе и знаменателе:

Ответ:

 

2 балла Аргументировано получен верный ответ
1 балл Верно записано выражение, верный ход решения через замену, либо через вынесение множителя за скобку. Но из-за вычислительной ошибки получен неверный ответ.
0,5 балла Верно записано только выражение, либо имеются некоторые попытки решения в верном направлении.
0 баллов Решение неверное. Задача не подходит ни под один из названных критериев

 

5. (3 балла) Докажите тождество:

Доказательство. Перенесем в левую часть. Воспользуемся формулой тангенса двойного аргумента . Рассмотрим разность

Аналогично,

Итак, после того как мы перенесли в левую часть и преобразовали выражение, получился ноль. Конец доказательства.

 

3 балла Верно выполнены все действия. Получен правильный ответ.
2 балла Выполнены разложения по формулам. Имеется окончательная запись преобразованного выражения, замечена формула двойного угла тангенса, Возможно, решение через разложение на синусы и косинусы. Допущена небольшая неточность в рассуждениях. В целом, ход рассуждений верный и понятен.
1 балл Есть некоторые подвижки. Например, верно выполнены несколько разложений по формуле, но рассуждения ушли в сторону, и доказательства как такового нет.
0 баллов Решение неверное. Задача не подходит ни под один из названных критериев

 

6. (3 балла). Докажите, что если то или

Доказательство. Приравнивая суммы из условия задачи попарно, получаем

Перемножим эти равенства почленно

Отсюда . Следовательно, либо либо либо либо Если, например,

то и Аналогично, если получим, что

Конец доказательства.

3 балла Аргументировано получен верный ответ.
2 балла Ход доказательства верный. Допущена вычислительная неточность, приведшая к неверному ответу.
1 балл Есть некоторые рассуждения в верном направлении, но доказательство не доведено до конца.
0 баллов Доказательство неверное. Решение не подходит ни под один из названных критериев.

Неравенства

1. (1 балл) Найти область определения функции

Решение. При

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ.

Баллы Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом
  Учтены два условия. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Получен верный ответ.
0,5 Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена ошибка в использовании скобок при ответе.
  Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.

 

2. (1 балл) На рисунке изображен график функции (рис.1) укажите множество значений функции

Рис. 1

Решение.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ.

Баллы Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом
  Найдено множество значений функции, а не аргумента. Полученный ответ записан правильно либо с использование скобок, либо с помощью знаков неравенств.
0,5 Найдено множество значений функции, а не аргумента. Полученный ответ записан не правильно, либо с использование круглых скобок, либо с помощью строгих неравенств.
  Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.

3. (2 балла) Укажите количество точек с целочисленной абсциссой, принадлежащих графику функции (рис.1) в диапазоне .

Решение. 6 точек

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ.

Баллы Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом
  Получен верный ответ в заданном диапазоне.
1,5 Получен верный ответ в заданном диапазоне. Включена еще одна точка с абсциссой 8 (ответ 7) или наоборот забыта точка с абсциссой -9.
  Диапазон взят неверно за счет строгости границ. С учетом этого получен неверный ответ 5.
0,5 Найдено количество точек с целочисленной ординатой, принадлежащих графику функции (рис.1) в диапазоне . Получен правильный ответ 7.
  Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.

4. (2 балла) Оценивается лишь одна из двух задач. Задание а) тем, кто изучал производную, задание b) необходимо выполнять тем, кто по программе изучал логарифмы. Баллы выставляются только за одно из заданий: или только за а) или только за b).

a) Дан график функции y= f (x) (см. рис. 1) сравни значения производных этой функции в точках и . Ответ обоснуйте.

b) Найти область определения функции

Решение.

а) В точке x=-1 функция возрастает, следовательно, производная , в точке x=2 функция убывает, следовательно, . Поэтому .

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ.

Баллы Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом
  Получен верный ответ, приведено полное обоснование
  Получен верный ответ, приведено полное обоснование, в математических терминах допущены орфографические ошибки.
0,5 Приведен верный ответ без обоснования
  Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.

b) Область определения содержит три условия: .

Так как основание логарифма меньше 1, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ.

Баллы Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом
  Получен верный ответ, приведено полное обоснование (отсутствие причины изменения знака не является основанием к снижению баллов)
  Получен верный ответ, приведено полное обоснование, но подкоренное выражение взято со строгим знаком.
0,5 Пример решен частично, например, не учтено условие на основание логарифма.
  Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.

5. (3 балла) Решить неравенство: .

Решение. Найдем область определения: , так как х точно положительный, можем возвести обе части второго неравенства в квадрат: .

Возведем обе части исходного неравенства в квадрат, это возможно, так как обе части неравенства неотрицательны (уменьшаемое заведомо не меньше вычитаемого):

Пересекая решение и ОДЗ, получаем

Баллы Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом
  Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
2,5 Приведена верная последовательность всех шагов решения. Возможно, допущена описка или негрубая вычислительная ошибка.
  Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Нет обоснований возведения в квадрат обеих частей иррациональных неравенств.
  Выполнено только ОДЗ или только решение без ОДЗ.
0,5 Есть небольшие подвижки в решении.
  Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.

 

6. (3 балла) Сколько натуральных значений параметра a меньших 100 дают ровно шесть целочисленных решений неравенства .

Решение. Решим неравенство методом интервалов

Очевидно, что решением неравенства являются все точки отрезка , он содержит пять целых точек: -1, 0, 1, 2, 3. Если , то новую шестую точку нам не удастся добавить к решению, поэтому , так как по условию задачи, а натуральное, то нас интересуют только значения . Всего существует 97 натуральных значений параметра а меньших 100.

Ответ. 97.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

Баллы Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом
  Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
2,5 Приведена верная последовательность всех шагов решения. Возможно, допущена описка или негрубая вычислительная ошибка.
  Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен не верный ответ из-за подсчета числа значений а в верно найденном диапазоне.
  Приведена верная последовательность всех шагов решения. Получен не верный ответ из-за неправильной оценки концов интервала.
0,5 Есть небольшие подвижки в решении.
  Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок.

 

Текстовые задачи

Задача 1 (1 балл)

На рисунке жирными точками показана цена унции золота на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 11 по 27 июля 2000 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период цена была не выше чем 282 долларов за унцию, но не ниже чем 278 долларов.

Решение: Не выше чем 282 долларов во все дни, кроме 13 и 14, т.е. 11 дней; ниже чем 278 1 день 21 числа. 11-1=10 дней (11, 12, 17, 18, 19, 20, 24, 25, 26, 27).

Ответ: 10 дней.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

1 балл Получен правильный ответ.
0,5 баллов Указано количество дней, когда цена была больше 278 долларов и меньше 282 (6), не учтены дни, когда цена была равна 282 или 278 долларам.
0 баллов Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.

Задача 2 (2 балла)

Мебельный салон заключает договоры с производителями мебели. В договорах указывается, какой процент от суммы, вырученной за продажу мебели, поступает в доход мебельного салона.

Фирма-производитель Процент от выручки, поступающий в доход салона Примечания
«Альфа» 7% Изделия ценой до 20 000 руб.
«Альфа» 3,5% Изделия ценой свыше 20 000 руб.
«Бета» 4% Все изделия
«Омикрон» 6% Все изделия

В прейскуранте приведены цены на четыре софы. Определите, продажа какой софы наиболее выгодна для салона. В ответе запишите, сколько рублей поступит в доход салона т продажи этой софы.

Фирма-производитель Изделие Цена
«Альфа» Софа «Анна» 15 000 руб.
«Альфа» Софа «Алефтина» 22 000 руб.
«Бета» Софа «Аркадия» 19 000 руб.
«Омикрон» Софа «Анастасия» 16 500 руб.

Решение:

1)

2)

3)

4)

Ответ: 1050.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

2 балл Решение выполнено верно. Получен правильный ответ.
1 баллов Допущена описка или арифметическая ошибка. В силу чего может быть получен неверный ответ.
0 баллов Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.

Задача 3 (2 балла)

Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 140 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 84 литра?

Решение:

  А (литров) р (л/мин) t (мин)
1 труба   x
2 труба   x+ 4

 

 

Ответ: 10 литров в минуту.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

2 балл Решение выполнено полностью: составлено и верно решено уравнение. Получен правильный ответ.
1 баллов Верно составлено уравнение, но оно не решено или при решении уравнения допущена описка или арифметическая ошибка.
0 баллов Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.

Задача 4 (3 балла)

Поезд, идущий с постоянной скоростью из пункта А в пункт В, был задержан у семафора на 8 минут. Расстояние от семафора до пункта В равно 40 км. При каких значениях первоначальной скорости поезд прибудет в пункт В не позже запланированного срока, если после задержки он увеличил скорость на 10 км/ч.

Решение:

С – пункт остановки. 8 мин = ч.

  V (км/ч) t (ч) S (км)
АС x S
СВ x+10  
АС план x S+40

 

Знаменатель дроби является положительным числом.

Другой способ решения:

Обозначим место, где располагается симофор пункт С.

Так как участок АС поезд проходит и в том и в другом случае одинаково, то разница произойдет только на участке СВ с учетом остановки. Составим неравенство только по участку СВ:

Но x>0 следовательно скорость поезда должна быть не больше 50 км/ч.

Ответ: Не больше 50 км/ч

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

3 балла Обоснованно получен правильный ответ.
2 балла При решении допущена описка или арифметическая ошибка.
1 балл Неравенство составлено правильно, но единицы измерения не приведены в соответствие.
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Задача 5 (4 балл)

В двух банках имеется раствор соли. Общий объем растворов 10 литров, а общее количество соли 80 граммов. В первую банку добавили 1 литр воды, а во вторую добавили 60 граммов соли. В результате концентрация раствора в первой банке составила 4 г/л, а во второй – 20 г/л. Сколько граммов соли было первоначально в первой банке?

Решение:

  mсм(л) С (г/л) mв (г)
1 раствор x   y
2 раствор 10-x   80-y

 

  mсм(л) С (г/л) mв (г)
1 раствор x   y
вода 1   0
Новый раствор x+1   y

 

  mсм(л) С (г/л) mв (г)
2 раствор 10-x   80-y
соль     60
Новый раствор 10-x   80-y+60

Ответ: 20 граммов.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

4 балла Решение верное: составлена система уравнений; полученная система решена. Обоснованно получен правильный ответ.
3 балла Верно составлена система уравнений; при решении системы уравнений допущена описка или арифметическая ошибка. В результате может быть получен неверный ответ. Или составлена система уравнений; полученная система решена, но не вычислены искомые величины.
2 балл Верно составлена система уравнений, но она не решена.
1 балл Верно составлено только одно уравнение системы.
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Уравнения

Задание 1 (1 балл) Решить уравнение:

Решение: второй корень не удовлетворяет условию Следовательно

Ответ:

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

1 балл Обоснованно получен правильный ответ.
0,5 баллов Решение не доведено до конца или допущена арифметическая ошибка.
0 баллов Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.

Задание 2 (2 балла) Решить уравнение:

Решение:

Другой способ решения:

Получаем квадратное уравнение .

Корни Условию удовлетворяет только . Поэтому и

Ответ:

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

2 балл Обе части уравнения верно возведены в квадрат, верно решено полученное квадратное уравнение, верно произведен отбор корней (с помощью условия на правую часть или с помощью проверки).
1 баллов Допущена описка или арифметическая ошибка.
0 баллов Уравнение решено, но не произведен отбор корней.

Задание 3 (2 балла) Решить уравнение:

Решение:

Ответ:.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

2 балл Приведена верная последовательность шагов решения: 1) верно числитель разложен на множители, 2) верно указана ОДЗ, 3) верно выполнены вычисления и отобран корень. Или обе части уравнения домножены на знаменатель, верно решено полученное уравнение 3-ей степени, учтена ОДЗ.
1 баллов Допущена описка или арифметическая ошибка.
0 баллов Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.

Задание 4 (3 балла) Решить систему уравнений:

Решение: Складывая уравнения систем, имеем 1) 2)

Ответ: (8;-3) и (-3;8).

Замечание. Можно использовать симметричность системы. Школьник может использовать знак совокупности при оформлении решения.

Ответ: (8;-3) и (-3;8).

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

3 балла Обоснованно получен правильный ответ.
2 балла При решении допущена описка или арифметическая ошибка.
1 балл Получено только одно решение.
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Задание 5 (4 балла) При каких значениях параметра а, уравнение имеет ровно один корень?

Решение:

При исходное уравнение принимает вид и единственный корень, следовательно, удовлетворяет условию задачи.

Тогда, является посторонним корнем, т. е. не удовлетворяет ОДЗ:

Или корни совпадают

Ответ:

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

4 бала Верно выполнены все этапы решения: а) определена ОДЗ; в) найдены возможные корни; с) с учетом требования условия «единственный корень» верно выписано условие (); d) рассмотрен случай совпадения корней.
3 балла В целом решение верное, но допущена описка или негрубая ошибка.
2 балл Ответ неполный, не рассмотрен случай совпадения корней и/или .
1 балл Найдены возможные корни.
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: