Практическое занятие №10.
Тема «Нахождение производных функций в точке а по заданной табличной функции y = f (x) методом численного дифференцирования».
Цели. Научиться вычислять по табличным данным приближенно производные функций в точке а с использованием вычислительной техники.
Краткие теоретические сведения.
Конечный набор формул и правил дифференцирования являет собой точный метод решения. Потребность в приближенных методах возникает, например, когда нахождение точных производных требует сложных выкладок, а результат содержит громоздкие выражения, или когда надо найти производную табличной функции с неизвестным аналитическим выражением.
Пусть функция y = f (x) задана на некотором отрезке и имеет таблицу значений в точках a = x0 < x1 <…< xn = b.
Табл. 1
x | f(x) |
x0 | y0 |
x1 | y1 |
x2 | y2 |
… | … |
xn | yn |
Численным дифференцированием можно решать задачи двух видов:
1. Найти численное значение производной k- го порядка функции f в точке .
2. Найти таблично заданную функцию, являющуюся приближением к производной на отрезке .
Первая задача основная, так как после определения аргументов вторая сводится к первой. По этой причине будем заниматься только вычислением приближенных значений производных в точках и оценкой их погрешностей.
Будем считать, что функция f имеет таблицу значений с постоянным шагом h (таблица 1). Приближение ее производится первым интерполяционным многочленом Ньютона :
, (1)
где .
Узлы интерполирования выбираем таким образом, чтобы точка х, где вычисляются производные, находилась между узлами х0 и х1. Продифференцируем левую и правую части равенства (1) получим
. (2)
Если производная вычисляется в табличном аргументе, выбираем его в качестве начального узла. Тогда х = х0, t = 0, и формула (2) упрощается:
(3)
Полученные соотношения позволяют достаточно легко вычислять приближенные значения производной первого порядка.
Замечание. Δy0, Δ2y0, Δ3y0,… – конечные разности соответственно первого, второго, третьего и так далее порядков. Конечные разности первого порядка – это разности между соседними табличными значениями:
Разности второго порядка:
,
и т. д. Формула для конечных разностей k-го порядка (k > 1): .
Конечные разности удобно располагать в форме таблиц.
Табл. 2
x | f(x) | Δy | Δ2y |
x0 | y0 | Δy0 | Δ2y0 |
x1 | y1 | Δy1 | Δ2y1 |
… | … | … | … |
xn-2 | yn-2 | Δyn-2 | Δ2yn-2 |
xn-1 | yn-1 | Δyn-1 | |
xn | yn |
При этом будет допущена погрешность .
Задания для самостоятельной работы.
Дана таблица значений функции f: f(x) = ех - sin x с верными цифрами:
f (x) | f (x) | f (x) | f (x) | ||||
0,4 | 1,1024 | 0,8 | 1,5082 | 1,2 | 2,3881 | ||
0,1 | 1,0053 | 0,5 | 1,1693 | 0,9 | 1,6763 | 1,3 | 2,7057 |
0,2 | 1,0227 | 0,6 | 1,2575 | 1,0 | 1,8768 | 1,4 | 3,0696 |
0,3 | 1,0543 | 0,7 | 1,3695 | 1,1 | 2,1130 | 1,5 | 3,4842 |
1. Вычислите приближенное значение производной функции f(x) = ех - sin x с помощью формулы
,
где .
2. Вычислите точное значение производной данной функции в точке а с максимальной точностью, которая возможна при используемых вычислительных средствах.
3. Сравните полученные разными способами результаты. Все исходные данные а считаются точными числами.
Данные значений а по вариантам (все исходные данные а считаются точными числами):
1в | 0,38 |
2в | 1,02 |
3в | 1,15 |
4в | 1,22 |
5в | 1,36 |
6в | 0,59 |
Контрольные вопросы.
1. Когда возникает задача приближенного вычисления производных?
2. В чем суть метода приближенного вычисления производных?
3. Как находят конечные разности?
4. По какой формуле находят производные функции, если производная вычисляется в табличном аргументе?
5. По каким формулам вычисляется погрешность вычисления?