Задача 4
1. Линейная модель: однофакторное уравнение регрессии первого порядка:
.
Уравнение регрессии строится в нормированных значениях факторов. Все значения фиктивного нормированного фактора X 0 равны .
2. Пусть натуральные значения фактора . Взаимосвязь нормированных значений фактора Х 1 с натуральными значениями фактора х 1 задаётся следующими формулами:
, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
где ‑ основной уровень, интервал варьирования, максимальное и минимальное натуральные значения фактора х 1, соответственно: , то .
3. Матрица планирования эксперимента для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка является таблицей, представляющая собой план эксперимента в натуральном значении фактора . Таблица состоит для N опытов с числом дублей n в каждом опыте и включает в себя столбцы: N, , , , , значения которых позволяют выполнить эксперимент по выбранному плану и провести предварительную обработку экспериментальных данных (расчёт выборочных средних, выборочных дисперсий в каждом опыте и дисперсии воспроизводимости, проверка всех выборочных дисперсий на однородность).
Для построения однофакторного уравнения первого порядка воспользуемся равномерным симметричным планом (РСП). Матрица планирования на базе РСП состоит из N опытов, в которой фактор х 1 в натуральных значениях варьируется на равноотстоящих друг от друга уровнях:
, . (5)
4. Предварительная обработка экспериментальных данных матрицы планирования, где N ‑ число опытов (); n – число в каждом опыте дублей ().
4.1. Выборочное среднее в каждом опыте:
, . (6)
4.2. Выборочная дисперсия в каждом опыте:
, . (7)
4.3. Проверка выборочных дисперсий всех N опытов на однородность по критерию Кохрена:
‑ экспериментальное значение критерия Кохрена .
; (8)
‑ табличное значение критерия Кохрена при числах степеней свободы , и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 5;
‑ критерий однородности выборочных дисперсий:
‑ выборочные дисперсии () с доверительной вероятностью р однородны, то есть , если
, (9)
‑ выборочные дисперсии () с доверительной вероятностью р неоднородны, то есть равенство не выполняется, если
. (10)
Если выборочные дисперсии неоднородны, то дальнейшее моделирование изучаемого объекта предложенным математическим аппаратом некорректно. Необходимо переделать опыт, в котором выборочная дисперсия наибольшая.
4.4. Если все выборочные дисперсии по критерию Кохрена однородны, то дисперсию воспроизводимости и её число степеней свободы равны:
, (11)
. (12)
5. Матрица моделирования эксперимента для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка является таблицей, представляющая собой план эксперимента в нормированных значениях факторов . Таблица состоит из N опытов и включает в себя столбцы: N, , , , , , , значения которых позволяют провести обработку экспериментальных данных (расчёт коэффициентов уравнения регрессии и проверка их на значимость, проверка уравнения регрессии на адекватность, расчёт абсолютной погрешности в случае адекватности уравнения регрессии).
Столбец нормированного фактора состоит из элементов . Нормированные значения фактора рассчитываются по формуле (1), либо для РСП с учётом уравнений (1) – (5) по формуле:
, . (13)
5.1. Коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка (при условии, что факторы Х 0 и Х 1 ортогональны) рассчитывают по формулам:
; (14)
. (15)
5.2. Проверка коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка на значимость (при условии, что факторы Х 0 и Х 1 ортогональны).
Дисперсии значимости коэффициентов однофакторного уравнении регрессии первого порядка для РСП:
; (16)
. (17)
Доверительные интервалы коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка рассчитывают по критерию Стьюдента:
, (18)
, (19)
где ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 2.
Коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка значимы, если выполняются следующие неравенства:
, (20)
. (21)
Если для какого-либо регрессионного коэффициента указанное неравенство не выполняется, то этот регрессионный коэффициент незначим и его необходимо исключить из полученного уравнения регрессии.
5.3. Проверка однофакторного уравнения регрессии первого порядка на адекватность.
Дисперсия адекватности и число её степеней свободы для однофакторного уравнения регрессии первого порядка равны:
, (22)
, (23)
где n – число дублей в каждом опыте; ‑ остаточная сумма квадратов; ‑ расчетные значения параметра Y, полученные по однофакторному уравнению регрессии первого порядка (), в котором оставлены только значимые коэффициенты; N ‑ число опытов; В ‑ число значимых коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка.
Адекватность уравнения регрессии, которое характеризуется с числом степеней свободы и с числом степеней свободы , проверяется по критерию Фишера:
‑ экспериментальное значение критерия Фишера F э, (отношение большей выборочной дисперсии к меньшей):
, (24)
‑ табличное значение критерия Фишера , где ‑ число степеней свободы большей дисперсии, ‑ число степеней свободы меньшей дисперсии, выбирается из таблицы Приложения 4;
‑ критерий адекватности уравнения регрессии (равносильно критерию однородности 2-х дисперсий на однородность):
‑ уравнение регрессии с доверительной вероятностью р адекватно, то есть , если:
, (25)
‑ уравнение с доверительной вероятностью р неадекватно (), если:
. (26)
6.4. Предельная абсолютная погрешность параметра Y (Х 1), рассчитанного по однофакторному уравнению регрессии первого порядка , в случае его адекватности определяется по формуле:
, (27)
где ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.
6. Если полученное однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, следует перейти к построению уравнению регрессии второго порядка.
Типовая задача (вариант № 30).
Цель: Освоить методы моделирования и оптимизации однофакторных стохастических систем.
Формулировка задачи. Зерно, собранное комбайном в поле, имеет влажность » 30 %. На току при естественной сушке зерно высыхает до влажности » 20 %. Однако для долгосрочного хранения зерна на элеваторе зерно должно иметь влажность 14 %. До этой влажности зерно доводят в специальных сушилах, теплоносителем в которых является горячий воздух.
Важнейшим параметром, характеризующим эффективность работы сушила, является удельный расход энергии (энергия на тонну высушенного зерна). При прочих равных условиях удельный расход энергии (параметр Y, кВтч/т) зависит от температуры теплоносителя (фактор х 1,°С). В данной задаче изучалась зависимость удельного расхода энергии Y от температуры теплоносителя х 1, которая варьировалась в диапазоне: °С.
Математическая формулировка задачи: 1) построить адекватное уравнение регрессии, отражающее зависимость удельного расхода энергии(параметр Y, кВтч/т) от температуры воздуха (фактор х 1 °С); 2) рассчитать оптимальное значение фактора х 1(°С), при котором удельный расход энергии Y будет минимальным.
Моделирование изучаемой системы начнем с построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка. В качестве плана эксперимента возьмем РСП с числом опытов и числом дублей . Результаты эксперимента представлены в таблице 1.
Таблица 1. ‑ Экспериментальные данные для РСП.
N | х 1 j, °С | Yj1, кВтч/т | Yj2, кВтч/т | Yj3, кВтч/т | Yj4, кВтч/т |
73.5 | 75.3 | 73.5 | 74.1 | ||
60.4 | 60.2 | 63.7 | 61.5 | ||
55.4 | 59.0 | 58.8 | 54.8 | ||
54.8 | 55.5 | 54.3 | 51.9 | ||
59.7 | 62.5 | 57.9 | 57.8 |
План решения задачи.
1. Внимательно прочитать условия задачи.
2. Выполнить переход от натуральных значений фактора х 1 к нормированным Х 1.
3. Создать матрицу планирования эксперимента и выполнить предварительную обработку экспериментальных данных.
4. Создать матрицу моделирования и рассчитать коэффициенты .
5. Произвести статистическую оценку качества полученного однофакторного уравнениярегрессии первого порядка (значимость коэффициентов регрессии, адекватность уравнения регрессии).
6. Принять решение о дальнейшем пути исследования изучаемого объекта.
NB!!! Все предварительные расчёты проводить до минимум 4-х значащих цифр.
Решение задачи согласно плану.
1. Пункт плана 1 выполнить самостоятельно.
2. Уровни и интервал варьирования фактора, а также формулы перевода натуральных x1 в нормированные X1 и обратно приведены в таблице 2 (см. уравнения (1) – (4)).
Таблица 2. – Уровни и интервал варьирования фактора x 1 (X 1).
Факторы | 1-й фактор (семена) | |
x 1, °С | X 1 | |
Нижний уровень | x 1 max = 120 | + 1 |
Верхний уровень | x 1 min = 60 | ‑ 1 |
Основной уровень | x 10 = 90 | |
Интервал варьирования | D x 1 = 30 | |
Формулы перевода натуральных x 1 в нормированные X 1 и обратно | ; |
3. Создадим матрицу планирования на базе равномерного симметричного плана (РСП), внесём в неё экспериментальные данные из таблицы 1 и проведём предварительную обработку экспериментальных данных (таблица 3) (см. раздел А, п. 3).
Таблица 3. – Матрица планирования на базеРСП для ,
и результаты предварительной обработки данных
N | Yj1,кВтч/т | Yj2,кВтч/т | Yj3,кВтч/т | Yj4,кВтч/т | |||
73.5 | 75.3 | 73.5 | 74.1 | 74.10 | 0.7200 | ||
60.4 | 60.2 | 63.7 | 61.5 | 61.45 | 2.5767 | ||
55.4 | 59.0 | 58.8 | 54.8 | 57.00 | 4.8800 | ||
54.8 | 55.5 | 54.3 | 51.9 | 54.13 | 2.4425 | ||
59.7 | 62.5 | 57.9 | 57.8 | 59.48 | 4.8292 | ||
3.1. Методика эксперимента. Для повышения точности определения параметра эксперимент проводится в сушиле, оборудованном средствами автоматизации для поддержания основного фактора ‑ температуры теплоносителя (воздух) () на требуемом уровне с точностью °С. Другие факторы, такие как объёмный расход воздуха, влажность воздуха, линейная скорость воздуха относительно зерна, также измеряются датчиками и помощью средств автоматизации поддерживаются на фиксированных уровнях. Влажность высушенного зерна поддерживалась на требуемом уровне %. Если влажность зерна становилась больше 14 %, то скорость конвейерной ленты соответственно увеличивалась, если влажность зерна становилась меньше 14 %, то скорость конвейерной ленты соответственно уменьшалась. Каждые 2 ч по счетчику электроэнергии с относительной погрешностью 0.1 % определялась величина электроэнергии, затраченной на проведение эксперимента (энергия на подогрев воздуха; энергия компрессора на обдув зерна воздухом; энергия двигателя на движение конвейерной ленты). За этот же период времени измерялась масса высушенного зерна с относительной погрешностью 0.1 %. Параметр определялся как отношение затраченной электроэнергии (кВтч) за 2 часа к массе высушенного зерна (т) за этот же период. Таким образом, за одну смену (8 ч) при заданной температуре теплоносителя параметр определялся 4 раза (. Полностью определение зависимости параметра от температуры теплоносителя осуществлялась за 5 дней () при температурах 60, 75, 90, 105 и 120 °С.
3.2. Проведем предварительную обработку экспериментальных данных (результаты расчета внести в таблицу 3).
Выборочное среднее в каждом опыте (см. уравнение (6)):
, .
Например, выборочное среднее в третьем опыте ():
.
Выборочная дисперсия в каждом опыте (см. уравнение (7)):
, .
Например, выборочная дисперсия в третьем опыте ():
.
Однородность выборочных дисперсий по критерию Кохрена (см. уравнения (8)):
‑ экспериментальное значение критерия Кохрена G э :
;
‑ табличное значение критерия Кохрена при , и доверительной вероятности р = 0.95 выбирается из таблицы Приложения 5:
.
Вывод: выборочные дисперсии однородны, так как (см. уравнение (9)).
Дисперсия воспроизводимости и её число степеней свободы (см. уравнение (11) – (12)):
,
.
4. Создадим матрицу моделирования на базе РСП для , проведём вспомогательные расчёты для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка (таблица 4) (см. раздел А, п. 5).
Создадим столбец нормированного фактора , все (данные внесём в таблицу 4).
Нормированные значениях фактора Х 1 для РСП рассчитаем по уравнению (1) (результаты расчета внести в таблицу 4):
Например, для опыта № 2 ()
.
Внесём в таблицу 4 столбец выборочных средних из таблицы 4.
Таблица 4. – Матрица моделирования для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка на базе РСП для и результаты обработки экспериментальных данных
N | X 0 j | X 1 j | |||||
–1.0 | 74.10 | 74.10 | – 74.10 | 68.50 | 31.36 | ||
–0.5 | 61.45 | 61.45 | – 30.73 | 64.85 | 11.56 | ||
0.0 | 57.00 | 57.00 | 0.00 | 61.20 | 17.64 | ||
0.5 | 54.13 | 54.13 | 27.07 | 57.55 | 11.70 | ||
1.0 | 59.48 | 59.48 | 59.48 | 53.90 | 31.14 | ||
2.500 | 306.2 | ‑ 18.28 | |||||
61.2 | ‑ 7.3 | ; | |||||
Уравнение неадекватно | 1.2 | 1.7 |
4.1. Проверим факторы Х 0 и Х 1 на ортогональность. Факторы Х 0 и Х 1 ортогональны, так как:
.
4.2. Рассчитаем коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка (результаты расчета внести в таблицу 4).
Образуем столбцы и рассчитаем их суммы:
,
,
,
.
Рассчитаем коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка (см. уравнения (14) – (15)):
,
.
5. Произведем статистическую оценку качества полученного однофакторного уравнения регрессии первого порядка. Результаты расчета с учетом округлений внести в таблицу 4.
5.1. Проверим коэффициенты b 0, b 1 однофакторного уравнения регрессии первого порядка на значимость по критерию Стьюдента.
Рассчитаем дисперсии значимости , (см. уравнения (16), (17)):
,
;
,
.
Рассчитаем доверительные интервалы коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка (см. уравнения (18), (19)):
;
,
где ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности выбирается из таблицы Приложения 2.
С учетом доверительных интервалов коэффициенты запишем результат расчёта с округлением:
,
.
Регрессионные коэффициенты значимы (см. уравнения (20), (21)), так как:
,
.
Вывод: однофакторное уравнение регрессии первого порядка, в котором все коэффициенты значимы, имеет следующий вид:
.
5.2. Проверим однофакторное уравнение регрессии первого порядка на адекватность по критерию Фишера (результаты расчёта внести в таблицу 4).
Рассчитаем по однофакторному уравнению регрессии первого порядка значения в каждом опыте. Например, для : .
Образуем столбец и рассчитаем его значения:
Например, для : .
Рассчитаем остаточную сумму квадратов :
Рассчитаем дисперсию адекватности и её число степеней свободы (см. уравнения (22), (23)):
,
.
Проверим полученное однофакторное уравнение регрессии первого порядка на адекватность по критерию Фишера:
‑ экспериментальное значение критерия Фишера F э (см. уравнения (24)):
, так как ;
‑ табличное значение критерия Фишера при , и доверительной вероятности р = 0.95 выбирается из таблицы Приложения 4:
.
Вывод: полученное однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, так как (см. уравнение (26)).
6. В связи с тем, что однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно перейдем к построению однофакторного уравнения второго порядка.
Ответ: задача 2, вариант 30.
1. Однофакторное уравнение регрессии первого порядка , кВтч/т.
±0.8 ±1.2
Все 5 выборочных дисперсий однородны, так как .
, ,
, .
Однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, так как:
.
2. В связи с тем, что однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно следует перейти к построению однофакторного уравнения второго порядка.
Формулировки 30 вариантов контрольных задач
Таблица 14. – Экспериментальные данные (параметр Y, кВтч/т).
Вариант 1
| Вариант 2
| Вариант 3
| Вариант 4
| Вариант 5
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 6
| Вариант 7
| Вариант 8
| Вариант 9
| Вариант 10
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 11
| Вариант 12
| Вариант 13
| Вариант 14
| Вариант 15
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 16
| Вариант 17
|