А. Однофакторное уравнение регрессии первого порядка




Задача 4

 

 

1. Линейная модель: однофакторное уравнение регрессии первого порядка:

.

Уравнение регрессии строится в нормированных значениях факторов. Все значения фиктивного нормированного фактора X 0 равны .

2. Пусть натуральные значения фактора . Взаимосвязь нормированных значений фактора Х 1 с натуральными значениями фактора х 1 задаётся следующими формулами:

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

где ‑ основной уровень, интервал варьирования, максимальное и минимальное натуральные значения фактора х 1, соответственно: , то .

3. Матрица планирования эксперимента для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка является таблицей, представляющая собой план эксперимента в натуральном значении фактора . Таблица состоит для N опытов с числом дублей n в каждом опыте и включает в себя столбцы: N, , , , , значения которых позволяют выполнить эксперимент по выбранному плану и провести предварительную обработку экспериментальных данных (расчёт выборочных средних, выборочных дисперсий в каждом опыте и дисперсии воспроизводимости, проверка всех выборочных дисперсий на однородность).

Для построения однофакторного уравнения первого порядка воспользуемся равномерным симметричным планом (РСП). Матрица планирования на базе РСП состоит из N опытов, в которой фактор х 1 в натуральных значениях варьируется на равноотстоящих друг от друга уровнях:

, . (5)

4. Предварительная обработка экспериментальных данных матрицы планирования, где N ‑ число опытов (); n – число в каждом опыте дублей ().

4.1. Выборочное среднее в каждом опыте:

, . (6)

4.2. Выборочная дисперсия в каждом опыте:

, . (7)

4.3. Проверка выборочных дисперсий всех N опытов на однородность по критерию Кохрена:

‑ экспериментальное значение критерия Кохрена .

; (8)

‑ табличное значение критерия Кохрена при числах степеней свободы , и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 5;

‑ критерий однородности выборочных дисперсий:

‑ выборочные дисперсии () с доверительной вероятностью р однородны, то есть , если

, (9)

‑ выборочные дисперсии () с доверительной вероятностью р неоднородны, то есть равенство не выполняется, если

. (10)

Если выборочные дисперсии неоднородны, то дальнейшее моделирование изучаемого объекта предложенным математическим аппаратом некорректно. Необходимо переделать опыт, в котором выборочная дисперсия наибольшая.

4.4. Если все выборочные дисперсии по критерию Кохрена однородны, то дисперсию воспроизводимости и её число степеней свободы равны:

, (11)

. (12)

5. Матрица моделирования эксперимента для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка является таблицей, представляющая собой план эксперимента в нормированных значениях факторов . Таблица состоит из N опытов и включает в себя столбцы: N, , , , , , , значения которых позволяют провести обработку экспериментальных данных (расчёт коэффициентов уравнения регрессии и проверка их на значимость, проверка уравнения регрессии на адекватность, расчёт абсолютной погрешности в случае адекватности уравнения регрессии).

Столбец нормированного фактора состоит из элементов . Нормированные значения фактора рассчитываются по формуле (1), либо для РСП с учётом уравнений (1) – (5) по формуле:

, . (13)

5.1. Коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка (при условии, что факторы Х 0 и Х 1 ортогональны) рассчитывают по формулам:

; (14)

. (15)

5.2. Проверка коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка на значимость (при условии, что факторы Х 0 и Х 1 ортогональны).

Дисперсии значимости коэффициентов однофакторного уравнении регрессии первого порядка для РСП:

; (16)

. (17)

Доверительные интервалы коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка рассчитывают по критерию Стьюдента:

, (18)

, (19)

где ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 2.

Коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка значимы, если выполняются следующие неравенства:

, (20)

. (21)

Если для какого-либо регрессионного коэффициента указанное неравенство не выполняется, то этот регрессионный коэффициент незначим и его необходимо исключить из полученного уравнения регрессии.

5.3. Проверка однофакторного уравнения регрессии первого порядка на адекватность.

Дисперсия адекватности и число её степеней свободы для однофакторного уравнения регрессии первого порядка равны:

, (22)

, (23)

где n – число дублей в каждом опыте; ‑ остаточная сумма квадратов; ‑ расчетные значения параметра Y, полученные по однофакторному уравнению регрессии первого порядка (), в котором оставлены только значимые коэффициенты; N ‑ число опытов; В ‑ число значимых коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка.

Адекватность уравнения регрессии, которое характеризуется с числом степеней свободы и с числом степеней свободы , проверяется по критерию Фишера:

‑ экспериментальное значение критерия Фишера F э, (отношение большей выборочной дисперсии к меньшей):

, (24)

‑ табличное значение критерия Фишера , где ‑ число степеней свободы большей дисперсии, ‑ число степеней свободы меньшей дисперсии, выбирается из таблицы Приложения 4;

‑ критерий адекватности уравнения регрессии (равносильно критерию однородности 2-х дисперсий на однородность):

‑ уравнение регрессии с доверительной вероятностью р адекватно, то есть , если:

, (25)

‑ уравнение с доверительной вероятностью р неадекватно (), если:

. (26)

6.4. Предельная абсолютная погрешность параметра Y (Х 1), рассчитанного по однофакторному уравнению регрессии первого порядка , в случае его адекватности определяется по формуле:

, (27)

где ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.

6. Если полученное однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, следует перейти к построению уравнению регрессии второго порядка.

 

Типовая задача (вариант № 30).

 

Цель: Освоить методы моделирования и оптимизации однофакторных стохастических систем.

Формулировка задачи. Зерно, собранное комбайном в поле, имеет влажность » 30 %. На току при естественной сушке зерно высыхает до влажности » 20 %. Однако для долгосрочного хранения зерна на элеваторе зерно должно иметь влажность 14 %. До этой влажности зерно доводят в специальных сушилах, теплоносителем в которых является горячий воздух.

Важнейшим параметром, характеризующим эффективность работы сушила, является удельный расход энергии (энергия на тонну высушенного зерна). При прочих равных условиях удельный расход энергии (параметр Y, кВтч/т) зависит от температуры теплоносителя (фактор х 1,°С). В данной задаче изучалась зависимость удельного расхода энергии Y от температуры теплоносителя х 1, которая варьировалась в диапазоне: °С.

Математическая формулировка задачи: 1) построить адекватное уравнение регрессии, отражающее зависимость удельного расхода энергии(параметр Y, кВтч/т) от температуры воздуха (фактор х 1 °С); 2) рассчитать оптимальное значение фактора х 1(°С), при котором удельный расход энергии Y будет минимальным.

Моделирование изучаемой системы начнем с построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка. В качестве плана эксперимента возьмем РСП с числом опытов и числом дублей . Результаты эксперимента представлены в таблице 1.

 

Таблица 1. ‑ Экспериментальные данные для РСП.

N х 1 j, °С Yj1, кВтч/т Yj2, кВтч/т Yj3, кВтч/т Yj4, кВтч/т
    73.5 75.3 73.5 74.1
    60.4 60.2 63.7 61.5
    55.4 59.0 58.8 54.8
    54.8 55.5 54.3 51.9
    59.7 62.5 57.9 57.8

План решения задачи.

 

1. Внимательно прочитать условия задачи.

2. Выполнить переход от натуральных значений фактора х 1 к нормированным Х 1.

3. Создать матрицу планирования эксперимента и выполнить предварительную обработку экспериментальных данных.

4. Создать матрицу моделирования и рассчитать коэффициенты .

5. Произвести статистическую оценку качества полученного однофакторного уравнениярегрессии первого порядка (значимость коэффициентов регрессии, адекватность уравнения регрессии).

6. Принять решение о дальнейшем пути исследования изучаемого объекта.

NB!!! Все предварительные расчёты проводить до минимум 4-х значащих цифр.

 

Решение задачи согласно плану.

1. Пункт плана 1 выполнить самостоятельно.

2. Уровни и интервал варьирования фактора, а также формулы перевода натуральных x1 в нормированные X1 и обратно приведены в таблице 2 (см. уравнения (1) – (4)).

 

Таблица 2. – Уровни и интервал варьирования фактора x 1 (X 1).

Факторы 1-й фактор (семена)
x 1, °С X 1
Нижний уровень x 1 max = 120 + 1
Верхний уровень x 1 min = 60 ‑ 1
Основной уровень x 10 = 90  
Интервал варьирования D x 1 = 30  
Формулы перевода натуральных x 1 в нормированные X 1 и обратно ;

 

3. Создадим матрицу планирования на базе равномерного симметричного плана (РСП), внесём в неё экспериментальные данные из таблицы 1 и проведём предварительную обработку экспериментальных данных (таблица 3) (см. раздел А, п. 3).

 

Таблица 3. – Матрица планирования на базеРСП для ,

и результаты предварительной обработки данных

N Yj1,кВтч/т Yj2,кВтч/т Yj3,кВтч/т Yj4,кВтч/т
    73.5 75.3 73.5 74.1 74.10 0.7200
    60.4 60.2 63.7 61.5 61.45 2.5767
    55.4 59.0 58.8 54.8 57.00 4.8800
    54.8 55.5 54.3 51.9 54.13 2.4425
    59.7 62.5 57.9 57.8 59.48 4.8292
 

 

3.1. Методика эксперимента. Для повышения точности определения параметра эксперимент проводится в сушиле, оборудованном средствами автоматизации для поддержания основного фактора ‑ температуры теплоносителя (воздух) () на требуемом уровне с точностью °С. Другие факторы, такие как объёмный расход воздуха, влажность воздуха, линейная скорость воздуха относительно зерна, также измеряются датчиками и помощью средств автоматизации поддерживаются на фиксированных уровнях. Влажность высушенного зерна поддерживалась на требуемом уровне %. Если влажность зерна становилась больше 14 %, то скорость конвейерной ленты соответственно увеличивалась, если влажность зерна становилась меньше 14 %, то скорость конвейерной ленты соответственно уменьшалась. Каждые 2 ч по счетчику электроэнергии с относительной погрешностью 0.1 % определялась величина электроэнергии, затраченной на проведение эксперимента (энергия на подогрев воздуха; энергия компрессора на обдув зерна воздухом; энергия двигателя на движение конвейерной ленты). За этот же период времени измерялась масса высушенного зерна с относительной погрешностью 0.1 %. Параметр определялся как отношение затраченной электроэнергии (кВтч) за 2 часа к массе высушенного зерна (т) за этот же период. Таким образом, за одну смену (8 ч) при заданной температуре теплоносителя параметр определялся 4 раза (. Полностью определение зависимости параметра от температуры теплоносителя осуществлялась за 5 дней () при температурах 60, 75, 90, 105 и 120 °С.

3.2. Проведем предварительную обработку экспериментальных данных (результаты расчета внести в таблицу 3).

Выборочное среднее в каждом опыте (см. уравнение (6)):

, .

Например, выборочное среднее в третьем опыте ():

.

Выборочная дисперсия в каждом опыте (см. уравнение (7)):

, .

Например, выборочная дисперсия в третьем опыте ():

.

Однородность выборочных дисперсий по критерию Кохрена (см. уравнения (8)):

‑ экспериментальное значение критерия Кохрена G э :

;

‑ табличное значение критерия Кохрена при , и доверительной вероятности р = 0.95 выбирается из таблицы Приложения 5:

.

Вывод: выборочные дисперсии однородны, так как (см. уравнение (9)).

Дисперсия воспроизводимости и её число степеней свободы (см. уравнение (11) – (12)):

,

.

4. Создадим матрицу моделирования на базе РСП для , проведём вспомогательные расчёты для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка (таблица 4) (см. раздел А, п. 5).

Создадим столбец нормированного фактора , все (данные внесём в таблицу 4).

Нормированные значениях фактора Х 1 для РСП рассчитаем по уравнению (1) (результаты расчета внести в таблицу 4):

Например, для опыта № 2 ()

.

Внесём в таблицу 4 столбец выборочных средних из таблицы 4.

 

Таблица 4. – Матрица моделирования для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка на базе РСП для и результаты обработки экспериментальных данных

N X 0 j X 1 j
    –1.0 74.10 74.10 – 74.10 68.50 31.36
    –0.5 61.45 61.45 – 30.73 64.85 11.56
    0.0 57.00 57.00 0.00 61.20 17.64
    0.5 54.13 54.13 27.07 57.55 11.70
    1.0 59.48 59.48 59.48 53.90 31.14
  2.500 306.2 ‑ 18.28
61.2 ‑ 7.3 ;
Уравнение неадекватно 1.2 1.7

 

4.1. Проверим факторы Х 0 и Х 1 на ортогональность. Факторы Х 0 и Х 1 ортогональны, так как:

.

4.2. Рассчитаем коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка (результаты расчета внести в таблицу 4).

Образуем столбцы и рассчитаем их суммы:

,

,

,

.

Рассчитаем коэффициенты однофакторного уравнения регрессии первого порядка (см. уравнения (14) – (15)):

,

.

5. Произведем статистическую оценку качества полученного однофакторного уравнения регрессии первого порядка. Результаты расчета с учетом округлений внести в таблицу 4.

5.1. Проверим коэффициенты b 0, b 1 однофакторного уравнения регрессии первого порядка на значимость по критерию Стьюдента.

Рассчитаем дисперсии значимости , (см. уравнения (16), (17)):

,

;

,

.

Рассчитаем доверительные интервалы коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка (см. уравнения (18), (19)):

;

,

где ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности выбирается из таблицы Приложения 2.

С учетом доверительных интервалов коэффициенты запишем результат расчёта с округлением:

,

.

Регрессионные коэффициенты значимы (см. уравнения (20), (21)), так как:

,

.

Вывод: однофакторное уравнение регрессии первого порядка, в котором все коэффициенты значимы, имеет следующий вид:

.

5.2. Проверим однофакторное уравнение регрессии первого порядка на адекватность по критерию Фишера (результаты расчёта внести в таблицу 4).

Рассчитаем по однофакторному уравнению регрессии первого порядка значения в каждом опыте. Например, для : .

Образуем столбец и рассчитаем его значения:

Например, для : .

Рассчитаем остаточную сумму квадратов :

Рассчитаем дисперсию адекватности и её число степеней свободы (см. уравнения (22), (23)):

,

.

Проверим полученное однофакторное уравнение регрессии первого порядка на адекватность по критерию Фишера:

‑ экспериментальное значение критерия Фишера F э (см. уравнения (24)):

, так как ;

‑ табличное значение критерия Фишера при , и доверительной вероятности р = 0.95 выбирается из таблицы Приложения 4:

.

Вывод: полученное однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, так как (см. уравнение (26)).

6. В связи с тем, что однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно перейдем к построению однофакторного уравнения второго порядка.

 

Ответ: задача 2, вариант 30.

 

1. Однофакторное уравнение регрессии первого порядка , кВтч/т.

±0.8 ±1.2

Все 5 выборочных дисперсий однородны, так как .

, ,

, .

Однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, так как:

.

2. В связи с тем, что однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно следует перейти к построению однофакторного уравнения второго порядка.

Формулировки 30 вариантов контрольных задач

 

Таблица 14. – Экспериментальные данные (параметр Y, кВтч/т).

Вариант 1
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
79.3 79.5 78.2 75.9
60.1 59.5 61.3 60.4
54.6 50.5 52.9 53.1
54.9 51.1 50.9 52.7
55.3 58.1 54.1 56.2

 

Вариант 2
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
78.2 78.0 78.6 75.8
57.6 60.6 62.2 62.5
53.6 50.8 55.4 50.9
53.1 52.9 53.0 52.8
60.4 61.0 63.0 60.4

 

Вариант 3
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
73.5 75.6 75.4 72.1
65.7 65.5 65.4 61.5
56.3 55.8 56.2 59.4
51.1 52.1 55.4 53.2
54.8 53.8 55.7 57.1

 

Вариант 4
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
78.9 78.6 77.4 76.4
62.7 58.2 63.0 60.3
51.5 51.9 54.3 55.1
51.4 51.7 53.2 51.4
58.3 55.4 58.0 55.9

 

Вариант 5
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
75.9 78.5 78.1 79.3
62.3 56.9 60.1 60.6
52.6 52.3 53.5 49.3
49.5 51.2 51.4 49.8
59.6 61.7 56.9 62.2

 

Вариант 6
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
74.8 74.8 73.0 75.7
63.0 63.4 62.5 65.0
56.2 57.6 58.3 56.9
55.8 53.6 53.3 52.3
57.4 59.1 58.9 57.8

 

Вариант 7
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
78.0 72.5 77.1 77.8
62.6 59.7 63.4 62.2
51.0 53.7 57.1 52.9
51.1 54.3 56.3 55.2
62.3 62.1 60.5 60.0

 

Вариант 8
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
77.4 81.9 80.5 77.9
61.1 60.6 61.8 57.7
54.0 53.1 49.9 55.2
51.2 49.7 53.1 51.6
60.9 60.2 59.7 58.1

 

Вариант 9
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
73.0 74.8 71.4 73.5
62.4 62.4 60.2 63.5
59.2 58.4 59.4 55.8
52.8 56.8 53.8 49.7
57.3 56.9 58.4 57.3

 

Вариант 10
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
77.0 76.7 74.9 72.0
64.4 65.9 63.4 64.7
55.7 55.7 56.2 55.3
52.2 51.7 51.5 54.4
57.7 54.0 54.2 55.9

 

Вариант 11
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
75.0 76.2 77.8 79.2
60.5 61.5 62.9 62.3
52.4 51.1 51.0 50.6
50.7 54.0 48.4 51.6
58.7 58.7 57.0 55.9

 

Вариант 12
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
71.4 73.7 74.6 70.2
62.3 62.4 65.9 62.7
54.6 57.2 58.9 58.2
53.5 53.3 55.6 56.6
57.2 57.1 59.3 58.0

 

Вариант 13
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
75.0 75.0 75.1 77.3
62.6 60.1 61.2 61.0
54.1 52.0 52.8 52.9
52.0 52.7 50.1 51.4
59.6 58.1 54.5 55.4

 

Вариант 14
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
79.7 79.3 80.9 80.6
59.1 63.7 59.6 62.6
52.8 53.3 54.7 54.9
51.8 51.3 51.7 49.2
59.9 59.9 59.4 57.6

 

Вариант 15
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
74.8 76.4 70.7 73.2
64.2 63.1 61.2 63.2
56.5 56.0 54.6 54.8
51.9 54.7 55.1 53.3
55.3 54.1 53.2 56.8

 

Вариант 16
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
75.2 78.1 76.3 76.0
63.1 62.3 60.8 62.5
53.5 50.1 55.9 55.4
52.5 55.3 50.9 52.9
58.0 57.7 53.6 54.8

 

Вариант 17
Y 1j Y 2j Y 3j Y 4j
80.2 80.0 79.2 79.8
60.8 61.5 65.2 61.5
50.7 54.8 51.7 52.6
52.7 51.2 50.5 50.1
58.5 58.7 57.4


Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: