Задача 5. многоФАКТОРНЫЙ эксперимент
1. Линейная модель: многофакторное уравнение регрессии первого порядка:
, (1)
где 
‑ число факторов; 
‑ текущий номер фактора, 
.
Многофакторное уравнение регрессии, также как и однофакторное строится в нормированных значениях факторов 
2. Взаимосвязь нормированных Х r и натуральных х r значений факторов:
, , (2)
, , (3)
, , (4)
, , (5)
где 
‑ основной уровень, интервал варьирования, максимальное и минимальное значение фактора хr в натуральных значениях, соответственно. Для 
имеем 
при .
3. Матрица планирования для построения многофакторного уравнения регрессии первого порядка представляет собой таблицу, состоящую из Nk опытов с числом дублей n каждый, включает в себя столбцы: Nk, 
, 
, 
, 
, 
, значения которых позволяют выполнить предварительную обработку экспериментальных данных (расчёт выборочных средних и выборочных дисперсий в каждом опыте, проверка выборочных дисперсий на однородность, расчёт дисперсии воспроизводимости). Для создания такой матрицы сначаланеобходимопостроить столбец нормированных значений фактора 
. Для этой цели используем центральный полный факторный план (ЦПФП), который состоит из опытов полного факторного плана (ПФП) и одного опыта в центре плана (0, 0, …, 0). Число опытов ПФП при варьировании каждого фактора на 2-х уровнях 
равно 
. Количество опытов ЦПФП равно 
.
4. Предварительная обработка экспериментальных данных матрицы планирования с числом опытов 
(
) и числом дублей в каждом опыте n (
).
4.1. Выборочное среднее 
в каждом опыте:
, . (6)
4.2. Выборочная дисперсия 
в каждом опыте:
, . (7)
4.3. Проверка всех выборочных дисперсий на однородность по критерию Кохрена:
‑ экспериментальное значение критерия Кохрена 
.
; (8)
‑ табличное значение критерия Кохрена 
при числах степеней свободы 
, 
и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 5;
‑ выборочные дисперсии 
с доверительной вероятностью р однородны, если
, (9)
‑ выборочные дисперсии с доверительной вероятностью р неоднородны, если
. (10)
Если выборочные дисперсии неоднородны, необходимо переделать опыт, в котором выборочная дисперсия наибольшая.
4.4. Если все выборочные дисперсии по критерию Кохрена однородны, то дисперсия воспроизводимости 
и её число степеней свободы 
рассчитывают по формулам:
, (11)
. (12)
5. Матрица моделирования на базе матрицы планирования для построения многофакторного уравнения регрессии первого порядка представляет собой таблицу, которая строится из опытов с числом дублей n каждый, включает в себя столбцы: Nk, 
, , 
, 
, 
, 
, значения которых позволяют провести окончательную обработку экспериментальных данных (расчёт коэффициентов уравнения регрессии и их доверительные интервалы, проверка уравнения регрессии на адекватность, расчёт абсолютной погрешности в случае адекватности уравнения регрессии).
Столбец нормированного фактора 
состоит из элементов 
. Нормированные значения фактора 
для плана ЦПФП равны и для опыта в центре плана (0, 0, …, 0).
Отметим важное свойство матрицы моделирования: все её факторы 
взаимно ортогональны, так как 
и 
(
). Ортогональность факторов матрицы моделирования позволяет определить коэффициенты уравнения регрессии, а также их доверительные интервалы, независимо друг от друга по относительно простым формулам.
5.1. Коэффициенты многофакторного уравнения регрессии первого порядка 
для ЦПФП, при условии, что факторы Х 0,, Х 1, Х 2 ортогональны, рассчитывают по формулам:
, (13)
, 
, (14)
причём для ЦПФП: 
, (15)
, (16)
5.2. Проверка коэффициентов многофакторного уравнения регрессии первого порядка на значимость.
Дисперсии значимости коэффициентов многофакторного уравнении регрессии первого порядка для ЦПФЭ при условии, что факторы Х 0,, Х 1, Х 2 ортогональны, рассчитывают по формулам:
, (17)
, . (18)
Так как 
, то для коэффициентов 
выполняется равенство:
, (19)
Доверительные интервалы коэффициентов многофакторного уравнения регрессии первого порядка рассчитываются по критерию Стьюдента:
, (20)
, , (21)
где 
‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы 
и доверительной вероятности р выбирается из таблицы Приложения 2.
Так как выполняется уравнение (19), то и доверительные интервалы линейных коэффициентов равны:
, . (22)
Коэффициенты многофакторного уравнения регрессии первого порядка значимы, если выполняются следующие неравенства:
, 
. (23)
Если для какого-либо коэффициента указанное неравенство не выполняется, то этот коэффициент незначим, и его необходимо исключить из уравнения регрессии.
5.3. Проверка многофакторного уравнения регрессии первого порядка на адекватность.
Дисперсия адекватности 
и её число степеней свободы 
равны:
, (24)
, (25)
где n – число дублей в каждом опыте; 
‑ остаточная сумма квадратов; 
‑ расчетные значения параметра Y, полученные по многофакторному уравнению регрессии первого порядка 
(), которое содержит только значимые коэффициенты; Nk ‑ число опытов; В ‑ число значимых коэффициентов многофакторного уравнения регрессии первого порядка.
Адекватность уравнения регрессии проверяется по критерию Фишера:
‑ экспериментальное значение критерия Фишера F э, (отношение большей дисперсии к меньшей):
, (26)
‑ табличное значение критерия Фишера 
, где 
‑ число степеней свободы большей дисперсии, 
‑ число степеней свободы меньшей дисперсии, выбирается из таблицы Приложения 4;
‑ уравнение регрессии с доверительной вероятностью р адекватно, если:
, (27)
‑ уравнение регрессии с доверительной вероятностью р неадекватно, если:
. (28)
6. Абсолютная погрешность 
параметра 
рассчитанного по уравнению 
, в случае его адекватности, определяется по формуле:
, (29)
где ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.
7. Если полученное многофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, следует перейти к построению многофакторного уравнению регрессии второго порядка.