1. Формулы расчета предельной ошибки выборки для собственно-случайного отбора
| Метод отбора Выборка | Повторный отбор | Бесповторный отбор |
| Для средней |
| 
|
| Для доли | 
| 
|
• - выборочная дисперсия;
• W - выборочная доля;
• n - объем выборочной совокупности;
• N - объем генеральной совокупности;
• t - число, связанное с вероятностью, которая берется из таблицы интеграла вероятностей закона нормального распределения.
2. Формулы расчета предельной ошибки выборки для механического отбора аналогичны собственно-случайным для бесповторного отбора
Пример 2.
Для определения среднего срока службы изделий было обследовано 250 изделий. При этом средний срок службы был установлен на уровне 41,9 месяца. Среднее квадратическое отклонение равно 6,2 месяцам.
С вероятностью 0,9973 определить, в каких пределах находится средний срок службы всех изделий
Решение:
• Р=0,9973, t=3 (из таблицы интеграла вероятностей закона нормального распределения).
• При этом вероятность делится на 2.
Пример 3.
Определить вероятность того, что предельная ошибка средней службы не превысит 1 месяц.
Решение:
3. Формулы расчета предельной ошибки выборки для серийного отбора
| Метод отбора Выборка | Повторный отбор | Бесповторный отбор | ||
| Для средней | Для доли | Для средней | Для доли | |
| Серийная (гнездовая) | 
t×
| 
t×
| 
t×
| 
t×
|
R – количество отобранных серий
R – общее число серий
- межсерийная дисперсия
- межсерийная выборочная дисперсия для доли
- доля изучаемого признака в i-той группе
- средняя выборочная доля изучаемого признака
Пример 4:
На предприятии 10 бригад. Изучается производительность труда. Отбираются 2 бригады. Средняя производительность труда 1-й бригады – 4,6 тонны, а 2-й – 3 тонны. С вероятностью 0,9973 определить пределы в кот. будет находиться средняя производительность труда рабочих данного предприятия. t = 3
Решение
ОТВЕТ:
При отборе, пропорциональном объему типических групп, число наблюдений по каждой группе определяется по формуле:
-объем выборки из -й типической группы.
-общий объем выборки.
-объем -й типической группы в генеральной совокупности
-объем генеральной совокупности.
4. Формулы расчета предельной ошибки выборки для типического отбора
| Метод отбора Выборка | Повторный отбор | Бесповторный отбор | ||
| Для средней | Для доли | Для средней | Для доли | |
| Типическая (при отборе пропорциональном объему групп) | 
| 
|  
|
Задача 5. Определим средний возраст мужчин, вступающих в брак, произведя 5%-ю типическую выборку:
| соц. группа | число мужчин | средний возраст | ср. кв. отклонение | доля мужчин, вступающих во второй брак. |
| рабочие служащие | 0.10 0.20 |
С вероятностью 0,954 определить
1) пределы, в которых будет находиться средний возраст мужчин, вступающих в брак
2) долю мужчин, вступающих в брак во второй раз.
Решение. 1) Средний возраст вступления в брак мужчин находится в пределах
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утвердить, что средний возраст мужчин, вступающих в брак, принимает значения 25,2 ± 1,2 года,
или
2) Доля мужчин, вступающих в брак во второй раз, находится в пределах
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля мужчин, вступающих в брак во второй раз, принимает значения 14% ± 6%, или
Методы оценки дисперсии генеральной совокупности при невозможности ее определения по рассмотренным выше формулам:
1. при условии стабильности совокупности на основе результатов прошлых обследований;
2. при условии стабильности совокупности, зная среднее значение:
3. при известном размахе вариации симметричного распределения
4. при известном размахе вариации асимметричного распределения
5. если невозможно определить дисперсию альтернативного признака по имеющимся данным, то ее оценивают как максимально возможную.
Вопрос 5. Определение численности выборочной совокупности:
Основано на формуле предельной ошибки выборки для соответствующего отбора. Путем преобразования получаем:
Выборка повторная, признак количественный
- выборочная дисперсия
t-параметр зависящий от вероятности
предельная ошибка
· Выборка бесповторная, а признак количественный
N-объем генеральной совокупности
· Выборка повторная, признак альтернативный
w- выборочная доля
· Выборка бесповторная, признак альтернативный
Для доли численность выборочной совокупности вычисляется аналогично, при этом отметим, что дисперсия в этом случае вычисляется по формуле для альтернативного признака.
Пример 6.
В городе 2000 семей. Предполагается провести выборочное обследование методом случайной бесповторной выборки для нахождения среднего размера семьи. Определить необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит 1 человека при среднем квадратическом отклонении 3 человека.
Исходные данные:
Ответ: необходимо обследовать не менее 36 семей.
Пример 7.
Сколько следует прохронометрировать операций, чтобы с вероятностью 0,9973 можно было бы утверждать, что разность между средней продолжительностью операций в выборочной и генеральной совокупности не превысит 1 секунды, если по результатам предыдущего испытания установлено, что средняя продолжительность операции равна 30 секундам, а среднее квадратическое отклонение равно 7 секундам?
Решение:
Ответ: нужно прохронометрировать не менее 441 операции.
Вопрос 6. Малая выборка
Малая выборка – это выборка размером от 4 до 30 единиц.
Особенности малой выборки:
1. размер выборки (от 4 до 30 ед)
2. Расчет средней ошибки малой выборки, при этом число степеней свободы равно n-1 (знаменатель формулы).
где
- средняя ошибка малой выборки
- дисперсия малой выборки (определяется при числе степеней свободы n-1)
n – численность малой выборки
следовательно, расчет предельной ошибки малой выборки осуществляется по формуле:
3. Специфика определения коэффициента доверия.
При работе с обычной выборкой для определения t используется таблица «Интеграла вероятностей закона нормального распределения». В случае малой выборки необходимо пользоваться таблицей «Распределение Стьюдента». Табличные значения t при задаваемой вероятности Ф (t) для распределения Стьюдента можно найти в приложении к учебникам по теории статистики. Конкретное значение t зависит от вероятности Р, а также численности малой выборки n.
4. При малой выборке из формул исключается
так как при определении ошибки выборки преимущественно используют формулы повторного отбора.