Практическая работа № 9
Тема: «Вычисление предела функции в точке»
Цели:
· закрепить и систематизировать теоретические знания,
· формировать умения и навыки выполнения упражнений по нахождению пределов функций.
В результате выполнения работы студент должен знать определение функции; определение предела функции в точке;
Должен уметь производить элементарные операции с функциями; находить пределы функций в точке;
План выполнения практической работы
1. Повторение основных теоретических сведений по данной теме
2. Изучение методических рекомендаций по решению задач и выполнение упражнений и задач.
3. Выполнение практической самостоятельной работы по вариантам.
4. Письменные ответы на контрольные вопросы
Задания для практической работы.
Краткие теоретические сведения.
Предел функции в точке.
Определение: Число А является пределом функции 
в точке x0, если для любого 
, найдется такое 
, что при 
, выполняется неравенство 
и записывают
|
Свойства пределов:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
! Все правила имеют смысл, если пределы функций 
и 
существуют.
Первый замечательный предел: 
Второй замечательный предел: 
Определение непрерывности функции: Функция является непрерывной в точке x = a, если справедливо равенство 
где 
.
Условия непрерывности функции в точке:
Функция f (x) определена в точке x = a;
Предел 
существует;
Выполняется равенство 
.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке существуют левосторонний предел 
и правосторонний предел 
; Эти односторонние пределы конечны.
При этом возможно следующие два случая:
Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов 
называется скачком функции.
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
2. Изучение методических рекомендаций по решению задач и выполнение упражнений и задач.
1. Найти пределы функций в точке.
1) 
.
Решение: В этом пределе в функцию 
, стоящую под знаком предела подставляем 
(т.к. 
) и получаем:
2) 
Решение: В этом пределе подставим в функцию 
, получим:
- получили неопределенность 
.
Чтобы найти предел этой функции нужно ее преобразовать, обратив внимание, что в числителе данной функции стоит выражение, содержащее корень 
. Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение противоположное (или сопряженное) данному. Это будет выражение 
. Получим
Выражение, стоящее в числителе свернем по формуле разности квадратов 
, получим
Сократим 
в числителе и знаменателе, и подставим 
в функцию, получим
Примечание: Образец оформления в тетради:
3) 
Решение: Подставив 
в функцию 
получим неопределенность 
, значит функцию нужно преобразовать, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов 
. Имеем:
4) 
.
Решение: Подставив 
в функцию 
получим неопределенность , значит функцию 
нужно преобразовать, разложив числитель и знаменатель на множители.
Для этого решим два квадратных уравнения (общий вид 
):
Т.к. 
, то по теореме Виета найдем корни квадратного уравнения:
И числитель, и знаменатель представляют собой квадратный трехчлен 
. По формуле разложения квадратного трехчлена на множители 
получим:
Подставив полученные разложения в функцию, имеем:
5) 
Решение.
Имеем неопределённость вида 
. Применим первый замечательный предел,
формулы (9), (10) получим:
6) 
Решение.
Имеем неопределённость вида 
. Применим второй замечательный предел:
= = 
= 
= 
=
= 
= 
= 
= 
=
= 
= 
= 
3. Выполнение практической самостоятельной работы по вариантам.
1 вариант 2 вариант
1. Найти пределы функций:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. Установить является ли функция непрерывной. Если нет, установить точки разрыва.
y = 
;
1. Найти пределы функций 
2. 
;
3. 
4. 
;
5. Установить является ли функция непрерывной. Если нет, установить точки разрыва.
6. у = 
;
Письменные ответы на контрольные вопросы
1. Что называется пределом функции в точке?
2. Каковы основные свойства пределов?
3. Какая функция называется непрерывной?