В классической механике при изучении движения частицы по траектории предполагается, что в каждый данный момент времени у частицы существует определенная координата х и определенный импульс р (или скорость v). Однако, для микрочастиц это положение несправедливо. Частице с импульсом р соответствует длина волны λ, определяемая из соотношения
р = ħk = ħ 2 π / λ (17)
(Это соотношение, изначально записанное для фотона, впервые применил к микрочастицам де Бройль). Поскольку длину волны невозможно определить в точке, координата и импульс не могут одновременно иметь определенных значений.
Подобная неопределенность существует между энергией E и временем t. В каждый данный момент времени энергия не определена точно из-за того, что в фиксированный момент времени нельзя определить частоту ν, а, следовательно, и энергию, связанную с частотой соотношением
E= h ω= ħ 2π ν. (17а)
При фиксированном х или t нельзя судить о величине импульса или энергии не потому, что эти величины неизвестны, а потому, что эти понятия лишены смысла так же, как "длина волны в точке" или "частота в определенный момент времени" (для определения длины волны требуется некоторая область пространства, а для определения частоты - некоторый интервал времени).
Рассмотрим теперь закономерно возникающий вопрос:
когда же имеется возможность для одновременного определения точного значения каких-либо двух физических величин?
Предположим, что нас интересуют одновременно значения двух физических величин А и G, описывающих состояние микрочастицы. В квантовой механике им соответствуют операторы Â и Ĝ. Для одновременного точного определения двух физических величин требуется, чтобы их операторы Â и Ĝ имели общую собственную функцию. Это возможно, когда операторы Â и Ĝ являются комутирующими, т.е.
ÂĜ = ĜÂ. (18)
Так, например, одновременно могут иметь определенные значения следующие величины:
- разные проекции импульсов на оси координат,
- координата и проекция импульса на другую ось координат.
Если операторы не являются коммутирующими, то соответствующие им значения не могут иметь одновременно определенных (точных) значений. Тогда неопределенность величин А и G можно охарактеризовать среднеквадратичес-кими отклонениями ΔА и ΔG, для которых существует (см. Приложение в конце) неравенство
ΔАΔG ≥ | <K> | /2, (19)
называемое соотношением неопределенностей, где <K> - среднее значение коммутатора, определяемого выражением
ÂĜ - ĜÂ. (20)
Если ΔА=D х, ΔG= Δ рх, то коммутатор К= ħ, поэтому
D х Δ рх ≥ ħ /2. (21)
Аналогично этому величины t и E связаны соотношением
D t ΔE≥ ħ /2. (22)
Соотношение неопределенностей показывает, что координата и импульс не могут быть одновременно точно измерены: так как при уменьшении разброса в значении его координаты (=D х →0) возрастает разброс в значениях импульса (Δ рх →∞) и наоборот. Сравним соотношения неопределенностей для микрочастиц и макротел.
Пример 1. Положение электрона в атоме невозможно определить точно. Примем в качестве меры разброса его координаты радиус атома, приближенно равный 10 -10 м. Пользуясь соотношением неопределенностей, найдем неопределенность в определении скорости. Т.к. Δ р = m Δ v, то
м/с.
Это - значительная величина.
Пример 2. Пусть положение шарик массой в 1 г определено с погрешностью 10 -6 м, тогда минимальная погрешность в скорости
м/с.
Это чрезвычайно маленькая величина, можно считать, что Δ v =0.
Таким образом, для тел макроскопических размеров соотношение неопределенностей практически не имеет никакого значения, однако, как мы увидим далее, оно имеет огромное значение при изучении микрочастиц.
Хорошо известно, и целый ряд экспериментов с элементарными частицами, например, с электронами, это подтверждает, что в некоторых случаях эти «частицы» обнаруживают волновые свойства, в других случаях – корпускулярные свойства, присущие обыкновенным микрочастицам. Корпускулярные свойства электронов обнаруживаются, например, когда электроны вызывают сцинтилляции на флуоресцентном экране, или дают следы в камере Вильсона. Наоборот, явление дифракции электронов не может быть понято, если представить электроны как обычные частицы, движущиеся по определенным траекториям. Это явление указывает на наличие у электрона волновых свойств.
В настоящее время экспериментально установлено, что волновые свойства присущи не только пучку электронов, но и каждому отдельному электрону. В опыте Бибермана, Сушкина и Фабриканта фотографировались дифракционные кольца от мелкокристаллического порошка при очень малой интенсивности электронного пучка. «Очень малая интенсивность» – это еще очень слабо сказано, потому что перерыв между двумя последовательными попаданиями электронов на фотопластинку в 104 раз превышал время, которое электрон тратил на то, чтобы пролететь по всему прибору! Таким образом, дифракционная картина создавалась фактическими отдельным электронами, попадавшими последовательно один за другим на фотопластинку. И что же наблюдалось? Оказалось, что положение дифракционных колец на экране вообще не зависит от интенсивности пучка, даже при условии, что электроны проходят через прибор по одномуи «в час по чайной ложке». Из сказанного вытекает, что характеризовать микрочастицу параметрами, свойственными обыкновенной классической частице (например, координатой или скоростью), нельзя. Описание микрочастиц должно существенно отличаться от описания частицы в классической механике. Такое описание дается в квантовой механике, где состояние микрочастицы определяется с помощью волновой функции. Причем это описание учитывает условия, в которых находится рассматриваемая микрочастица. Например, если микрочастица находится в условиях, когда ее скорость вполне определена и по величине, и по направлению, то соответствующая ей волновая функция имеет вид
(23)
Если условия таковы, что частица проявляет себя в малой части пространства (например, в потенциальной яме), то волновая функция имеет вид, который приведен в разделе 2.
Таким образом, в квантовой механике описание реальных свойств частицы дается в соответствии с условиями, в которых она находится.
Однако, в ряде вопросов мы можем приближенно описывать микрочастицу в понятиях, строго говоря, ей не свойственных, например, характеризовать микрочастицу одновременно задавая определенные интервалы координат и скоростей. Степень пригодности этих понятий для характеристики микрочастиц определяется математическим соотношением, установленным Гейзенбергом и носящим название «соотношение неопределенностей». Это соотношение можно обосновать, например, анализируя явление дифракции.
Для простоты рассмотрим дифракцию, вызываемую одной щелью. Представим себе пучок электронов, летящих вдоль оси OY с определенной скоростью v. На рис.1 экран АВ со щелью шириной d расположен перпендикулярно к пучку. На втором экране CD наблюдается дифракционная картина. С точки зрения волновой теории явление выглядит следующим образом: плоская волна, падая на щель, испытывает дифракцию; на экране CD получается распределение интенсивности, совпадающее с картиной распределения интенсивности при дифракции света от одной щели.
Это распределение представлено на рисунке пунктирной линией. Основная доля интенсивности относится к центральному максимуму, поэтому его и будем в дальнейшем рассматривать.
Если пытаться рассматривать электроны в виде классических частиц, которые летят строго вдоль оси OY, то, в момент прохождения сквозь щель, они имеют положение вдоль оси ОХ, которое можно определить с точностью до ширины щели. Следовательно, допуск (погрешность) в определении положения произвольного электрона равен D х = d. В то же время, вследствие дифракции, меняется направление скорости частиц. Для электронов, попадающих в область центрального максимума, проекция импульса на ось ОХ будет теперь лежать в пределах
0£ р х£ р sin j где sin j =l/ d. (24)
Следовательно, допуск, с которым можно приписать пучку электронов, проходящих через щель, импульс в направлении оси ОХ, будет:
(25)
А так как длина волны l связана с импульсом электрона соотношением (17), то 
. Если учесть, что ширина щели равна допуску в определении координаты Dх, то окончательно получается
(26)
Последнее соотношение может быть обобщено на все остальные координаты.
Следует отметить, что подобные соотношения могут быть получены в результате анализа любого другого опыта с элементарными частицами, а также математическим путем из уравнения Шредингера.
Смысл подобных соотношений в следующем:
Если мы хотим характеризовать микрочастицу с помощью физических величин, присущих классической макрочастице, то, строго говоря, этого сделать нельзя. Описание свойств микрочастиц должно существенно отличаться от описания частицы в классической механике. Такое описание дается в квантовой механике, где состояние микрочастицы определяется с помощью волновой функции. Характеризовать микрочастицу с помощью физических величин, присущих классической макрочастице можно лишь с определенным приближением. В некоторых случаях оказывается возможным приближенно описывать микрочастицу в понятиях, ей не свойственных. При этом степень пригодности этих понятий для характеристики микрочастиц как раз и определяется при помощи математических соотношений, установленных Гейзенбергом, и носящих название " соотношений неопределенностей ".
Возвращаясь к явлению дифракции электронов, делаем вывод, что
- комутатор [х,рх]= ħ, следовательно, координата и проекция импульса на эту же ось не имеют одновременно точных значений, каким бы ни было состояние частицы;
- чем точнее мы будем пытаться определять координату частицы х (Δ х - мало), тем с меньшей точностью, по условиям опыта, мы сможем определить ее проекцию количества движения, а, следовательно, и скорости.
Соотношение неопределенностей неоднократно являлось темой философских дискуссий, поскольку из его анализа напрашивается вывод об абсолютной непознаваемости мира. Чем точнее определяется одна величина (координата), тем большая неточность в определении другой (импульса). Однако, дело не в познаваемости мира, а в границах применимости физических моделей. Явления микро- и макромира по-разному протекают в пространстве и времени.
Рис.1
К обоснованию "соотношения неопределенностей"
Литература