I. Цели и задачи занятия
1. Выработать навыки исследования функций на монотонность и экстремумы с помощью первой и второй производной.
2. Показать обучающимся важность данной темы в курсе изучаемой дисциплины.
3. Воспитывать у обучающихся настойчивость в достижении поставленной цели.
II. План проведения и расчет учебного времени
| Содержание и порядок проведения занятия | Время, мин |
| ВВОДНАЯ ЧАСТЬ | |
| ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Учебные вопросы: | |
| 1. Второе достаточное условие существования экстремума. | |
| 2. Исследование функций. | |
| ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ | |
| ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ |
III. Учебно-материальное обеспечение
Классная доска, раздаточный материал, планшет, видеопроектор, экран.
IV. Методические материалы
К проведению практического занятия
Во вводной части занятия (5 мин.) после объявления темы и целей практического занятия целесообразно изложить последовательность обсуждения учебных вопросов.
Первый учебный вопрос (10 мин).
Второе достаточное условие существования экстремума.
При изложении первого учебного вопроса следует напомнить обучающимся понятие монотонной функции, необходимое и достаточное условия существования экстремума в точке.
Функция 
называется возрастающей в некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если 
=> 
(если => 
– неубывающая).
Функция называется убывающей в некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если => 
(если => 
– невозрастающая).
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными (строго монотонными). Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.
Признаки монотонности: Если дифференцируемая на интервале 
функция 
возрастает (убывает), то 
(
) для 
.
Геометрическое утверждение означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы с 
(т.к. 
=> 
– острый).
Точками экстремума функции являются точки максимума и минимума.
Необходимое условие экстремума: Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке 
, то ее производная в этой точке равна нулю: 
.
Достаточные условия возрастания и убывания функции: Если функция дифференцируема на интервале и 
(
) для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками (т.е. подозрительными на экстремум, в них возможен экстремум, но может и не быть).
Первое достаточное условие существование экстремума: Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная 
меняет знак с «+» на «–», то – точка максимума, с «–» на «+», то – точка минимума (если знак не меняется – экстремума нет).
Схема исследования функции на монотонность и экстремумы:
1. Найти производную функции .
2. Найти все критические точки из области определения функции, для этого:
а) – найти корни, которые являются внутренними точками области определения;
б) найти значения аргумента, при которых производная не существует.
3. Установить знаки производной функции при переходе через критические точки и выписать точки экстремума.
4. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Второе достаточное условие существование экстремума: Если в точке первая производная функции равна нулю (), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля (
), то при 
в точке функция имеет максимум и минимум – при 
.
Правило исследования функции на экстремум с помощью второй производной:
1. Найти первую производную .
2 Приравняв ее к нулю, найти критические точки.
3. Найти вторую производную 
.
4. Найти значения 
в критических точках:
если она окажется <0, то критическая точка – точка максимума;
если она окажется >0, то критическая точка – точка минимума.
Вопросы, задаваемые обучающимся:
- Какая функция называется возрастающей (неубывающей)?
- Какая функция называется убывающей (невозрастающей)?
- Что такое интервалы монотонности функции?
- Назовите правило исследования функции на экстремум с помощью первой производной?