Двоичная система счисления Bin (Вinary)





СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И КОДЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКЕ

Системой счисления (с.с.) называется способ представления чисел посредством цифровых знаков.

В качестве цифровых знаков используются арабские и римские цифры.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Примером непозиционных с.с. может служить римская или латинская с.с. Она включает в себя следующие цифровые обозначения: 1 – I; 2-II; 3-III; 4-IV; 5-V; 10-X;…; 50-L; 100-C; 500 - D; 1000-M и т.д.

Пример 3.Записать числа 114; 155; 1999 римскими цифрами:

114 — CXIV; 155 — CLV; 1999 — MCMXCIX.

В виду сложности не нашла своего применения в математике.

В позиционной с.с. с основанием p числа представляются в виде последовательности цифровых знаков:

N=(anan-1an-2… a2a1 a0, a-1 a-2 a-3)p

Основание системы счисления – это количество цифр используемых для формирования данной системы счисления.

В зависимости от основания системы счисления различают:

· десятичную с.с. (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

· двоичную с.с. (0, 1);

· восьмеричную (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7);

· шестнадцатеричную (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) .

В этих системах значение цифры определяется местом (позицией), где она стоит в числе

Пример 4.6321(10) = 6 3 2 1 = 6*103+3*102+2*10+1

 
 

 


каждую позицию цифры в числе принято оценивать «весом» показателем степени системы счисления. В первой справа пози­ции размещаются единицы (для целого числа), в соседней с ней второй позиции – десятки, в третьей – сотни, в четвертой - тысячи и т.д. Дробная часть десятичного числа находится справа от десятичной точки, используемой для отделения целой части числа от дробной. Каждая позиция справа от десятичной точки имеет свой вес (10-1, 10-2 и т.д).

В любой позиционной с.с. число может быть записано через полином (многочлен):

ат-1Р т-1т-гР m-1+...+а1Р -10Р 0-1Р -1-2Р -2+...+a-sP -s, (1)

где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

• положительные значения индексов — для целой части числа разрядов);

• отрицательные значения — для дробной (s разрядов).

Пример 5.237,71(10) = 2*102+3*101+7*100+7*10-1+1*10-2

Двоичная система счисления имеет основание Р = 2 и использует для представле­ния информации всего две цифры: 0 и 1.

Существуют правила перевода чисел из одной сис­темы счисления в другую, основанные, в том числе и на соотноше­нии (1).

Пример 6.101110,101(2)=1•25+0•24+1•23+1•22+1•21+0•20+1•2-1+0•2-2+1•2-3=
46,625(10),

т.е. двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625. При записи числа в десятичной системе счисления каждая позиция занята десятичной цифрой. Аналогично при записи двоичного числа каждая позиция занята двоичной циф­рой, называемой битом. Часто используется термин –наименьший значащий бит (крайний справа) и наибольший значащий бит (крайний слева).

Преобразование двоичных чисел в десятичные.

При работе ЭВМ часто бывает необходимо заменить двоичные числа их десятичными эквивалентами.

Процедура преобразования двоичного числа в десятичное проста: необходимо сложить десятичные веса всех разрядов двоичного числа, в которых содержаться единицы.

Пример 7.Преобразование вещественного двоичного числа: 101.011 в десятичное:

1 0 1. 0 1 1 = 1*22 +0* 21+1* 20+0* 2-1+ 1*2-2+1*2-3 =5.375(10)

Перевод из одной системы счисления в другую.

1. Для целой части используется правило последовательного деления

2. Для дробной части правило последовательного умножения.

Правило перевода целой части — правило последовательного деления: Для перевода целой части числа из С.С. с основанием p в С.С. с основанием q необходимо разделить целую часть заданного числа и получаемое частное на основание системы в которую необходимо преобразовать данное число, представленное в С.С. p, до тех пор пока частное не станет меньше q.

Старшей цифрой записи числа служит последнее частное, а следующие за ней дают остатки от деления частичных частных. Выписываются в порядке обратном их получения.

таким образом, получили число: (последнее частное) и затем остатки в порядке обратном их получения.

Двоичная система счисления Bin (Вinary)

Пример 8.Преобразовать десятичное число 134 в двоичное:

Частичные частные Последнее частное
Остатки    

Получили число10000110 B

Правило перевода дробной части — правило последовательного умножения: Для перевода правильной дроби из С.С. с основанием p в С.С. с основанием q необходимо умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание системы в которую необходимо преобразовать данное число, представленное в С.С. p. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр представления дроби в С.С. q.

Пример 9.Преобразовать десятичную дробь 0.375 в двоичную

0.375 * 2 = 0.75 0Старший Значащий Разряд(СЗР)

0.75 * 2 = 1.5 1

0.5 *2 = 1 1Младший ЗР (МЗР) Результат 0.011

Восьмеричная система счисления Oct (Оctal)

Восьмеричная система счисления имеет основание 8. В ней используются следующие символы: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Восьмеричная система применяется для удобства записи чисел. Поскольку 23 = 8, то каждый восьмеричный символ (0 до 7) может быть представлен 3-х битовым числом (000 …..111)

Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления необходимо двоичное число разбить вправо и влево от запятой на триады (по три двоичных бита). При необходимости крайнюю левую триаду (целой части) и крайнюю правую (дробной части) дополняют нулями, затем каждую триаду заменяют восьмеричным числом.

Пример 10. Представить восьмеричным эквивалентом число:

10101011111101 ( B )=>25375 ( О )

Двоичный код, разбитый на триады 010 добавлен 0
Восьмеричный код

Для перевода из восьмеричной в двоичную с.с. достаточно заменить каждую цифру восьмеричного числа соответствующим 3-х разрядным двоичным числом. При этом незначащие нули слева от целой части числа, и справа от дробной части отбрасываются.

Пример.11.Представить двоичным эквивалентом число:

375,75 ( O )=>11111101,1111 ( B )

Восьмеричный код 5,
Двоичный 101,

Шестнадцатеричная система счисления Hex (Hexadecimal)

Используются символы: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. (А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е = 14, F = 15)

Правило перевода шестнадцатеричных чисел в двоичные аналогично вышеизложенному, но используют не триады, а тетрады. Шестнадцатеричную цифру можно представить как средство сокращенной записи 4– х разрядного двоичного числа.

Преобразование двоичных чисел в 16-ные осуществляется по правилам, аналогичным для преобразования их в восьмеричные. Для этого биты целой и дробной частей влево и вправо от запятой группируются по четыре.

Пример 12. Представить шестнадцатеричным эквивалентом:

10101011111101 B => 25375 O => 2AFD H

Двоичный код, разбитый на тетрады
шестнадцатеричный код А F D

11000111.10101 B=>307.52 O => C7.A8 H

Двоичный код, разбитый на тетрады 1000 добавлены нули в конце дробной части
шестнадцатеричный код С A
  Целая часть Дробная часть

Следует помнить, что 16-ные и 8-ные числа - это только способ представления двоичных чисел, которыми фактически оперирует микропроцессор.

Простота соотношения между 16 и 2 формами представления чисел – причина значительно большей распространенности 16 с.с.

Пример 13.Преобразование из двоичной системы в 8, 16, 101101.0111

B => 15.34O => D.7H

Пример 14.Преобразование из восьмеричной системы в 10, 16

1172.25O => D; 634.328125 D => H,

ответ: 1172.25 O=>634.328125 D=>27A.54 H





Читайте также:
Тест мотивационная готовность к школьному обучению Л.А. Венгера: Выявление уровня сформированности внутренней...
Образование Киргизкой (Казахской) АССР: Предметом изучения Современной истории Казахстана являются ...
Методика расчета пожарной нагрузки: При проектировании любого помещения очень важно...

Рекомендуемые страницы:


Поиск по сайту

©2015-2019 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Обратная связь
0.014 с.