ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ЧАСТИЦЫ

Потенциальная энергия

Определим работу, совершаемую силой тяжести F_тпри переносе материальной точки массой m по криволинейной траектории ВС из одной точки В поля тяготения Земли в другую точку С (рис 31). Для этого разобьем траекторию движения тела на сколь угодно малые участки Ds_k, каждый из которых можно считать прямолинейным.

На произвольно выбранном таком участке сила тяжести F_т составляет с перемещением Ds_k угол a_k. Поэтому на данном участке работа силы тяжести

DA_k=F_т·Ds_k·cos(a_k). (3.15)

Спроецируем участок Ds_k на вертикаль BD. Его проекция

Dh_k=Ds_k·cos(a_k). (3.16)

Из (3.15) и (3.16) имеем DA_k=F_т·Dh_k. Очевидно, что работа A_BC силы тяжести F_т на всем пути ВС равна сумме элементарных работ Dh_k на всех участках Ds_k этого пути:

ABC=F_т(h₁-h₂)=mgh₁-mgh₂ (3.17)

Из последней формулы видно, что работа силы тяжести при переносе материальной точки массой m в поле тяготения Земли равна разности двух значений некоторой величины mgh. Поскольку работа есть мера изменения энергии, то в правой части формулы (3.17) стоит разность двух значений энергии этого тела. Это значит, что величина mgh представляет собой энергию, обусловленную положением тела в поле тяготения Земли.

Энергию, обусловленную взаимным расположением взаимодействующих между собой тел (или частей одного тела), называют потенциальной и обозначают W_п. Следовательно, для тела, находящегося в поле тяготения Земли,

W_п=mgh. (3.18)

С учетом (3.18) формулу (3.17) можно записать в виде

A_BC=W_п1-W_п2=-(W_п2-W_п1)=-DW_п (3.19)

т. е. работа силы тяжести равна изменению потенциальной энер-гии тела, взятому с противоположным знаком.

Из рис. видно, что работа A_BD, совершаемая силой тяжести при перемещении материальной точки массой m из точки B в точку D по вертикали ВD, составляет A_BC=mgh₁-mgh₂. Следовательно, A_BD=A_BC. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, а определяется лишь положением в поле тяготения Земли начальной и конечной точек перемещения тела.

В § 12 отмечалось, что силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, называют консервативными, а поле таких сил называется потенциальным. Сила тяжести является консервативной, а поле тяготения - потенциальным. Из формулы (3.19) следует, что работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Следует отметить, что тела имеют потенциальную энергии не только вследствие их притяжения к Земле. В § 10 было показано, что в результате упругой деформации тело тоже приобретает потенциальную энергию. Если, например, сжимается или растягивается упругая пружина, то ее потенциальная энергия вычисляется по формуле W_п=kх²/2, где k - жесткость пружины, x - ее удлинение, т.е. смещение точки приложения силы упругости.
Работа силы упругости определяется по формуле

A=W_п1-W_п2= kх₁²/2- kх₂²/2=-DW_п (3.20)

Сумму кинетической и потенциальной энергии тела называют полной механической энергией этого тела и обозначают W.

W=W_п+W_k (3.21)

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ЧАСТИЦЫ

Мы показали, что работа по перемещению частицы из положения 1 в положение 2 может быть выражена через приращение кинетической энергии:

.

В общем случае на частицу могут действовать как потенциальные, так и непотенциальные силы. Таким образом, результирующая сила, действующая на частицу:

.

Работа всех этих сил идет на приращение кинетической энергии частиц:

.

Но, с другой стороны, работа потенциальных сил равна убыли потенциальной энергии частиц:

,

следовательно,

.

Величину называют полной механической энергией частицы. Обозначим ее через Е.

.

Таким образом, работа непотенциальных сил идет на приращение полной механической энергии частицы.

Приращение полной механической энергии частицы в стационарном поле потенциальных сил при перемещении ее из точки 1 в точку 2 можно записать в виде:

.

Если > 0, то полная механическая энергия частицы возрастает, а если < 0, то убывает. Следовательно, полная механическая энергия частицы может измениться под действием только непотенциальных сил. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения механической энергии одной частицы. Если непотенциальные силы отсутствуют, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле потенциальных сил остается постоянной.

В реальных процессах, где действуют силы сопротивления, наблюдается отклонение от закона сохранения механической энергии. Например, при падении тела на Землю сначала кинетическая энергия тела возрастает, поскольку увеличивается скорость. Возрастает и сила сопротивления, которая увеличивается с возрастанием скорости. Со временем она будет компенсировать силу тяжести, и в дальнейшем при уменьшении потенциальной энергии относительно Земли кинетическая энергия не возрастает. Работа сил сопротивления приводит к изменению температуры тела. Нагревание тел при действии трения легко обнаружить, потерев ладони друг о друга.