Электрические цепи постоянного тока




Е2
Дано: электрическая цепь постоянного тока (рис.1)

 


R1
R2
 

Е5
R4
R5
Е4
R3


 

 


 

R6

 

 


Рисунок 1 – Электрическая цепь постоянного тока

 

Е2= 100 В; Е4= 50 В; Е5= 20В; R1=1 Ом; R2 =2 Ом; R3 = 8 Ом; R4 = 4 Ом; R5 = 5 Ом; R6 = 2 Ом.

Определить: токи в ветвях электрической цепи

Решение:

Составим уравнения по законам Кирхгофа. Согласно I закону Кирхгоффа:

где Ii – токи в ветвях цепи.

I закон Кирхгофа справедлив как для узла, так и для замкнутого контура. Чтобы составить уравнения по этому закону, необходимо:

1) произвольно выбрать направления токов;

2) составить уравнения с учетом направления.

По I закону Кирхгофа мы имеем право составить n-1 уравнений (n – число узлов).

Согласно II закону Кирхгофа:

где R – сопротивление, Ом;

𝓔 – ЭДС источника, В.

По II закону Кирхгофа мы имеем право составить число уравнений не больше, чем число независимых контуров. Для составления уравнений по данному закону необходимо:

- выбрать направление обхода контура;

- выбрать направления токов.

При составлении уравнения направление на элементе считается положительным, если выбранное направление тока совпадает с направлением обхода контура.

Общее число уравнений по двум законам Кирхгофа должно быть равно числу неизвестных. Как правило, при расчете сложных электрических цепей неизвестными являются токи в ветвях. Следовательно, общее число уравнений равно числу ветвей.

Произвольным образом расставляем токи в ветвях. При этом будем считать, что ток, входящий в узел, является положительным, а ток, выходящий из узла, - отрицательным.

I1
R1
I6
I2
 
R2
Е5
R3
Е4
R6
R4
R5
I3
I4
I5
Е2

 

 


Рисунок 2 – Электрическая цепь постоянного тока

 

Составляем уравнения:

I1 + I2 – I3 = 0

- I1 – I4 + I6 = 0

I2 + I5 – I6 = 0

I1R1 – I3R3 – I4R4 = –Е4

I2R2 + I3R3 – I5R5 = -E5

I4R4 + I5R5 + I6R6 = E45

 

Будем рассчитывать данную электрическую цепь постоянного тока при помощи метода контурных токов. Он позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений и основан на применении второго закона Кирхгофа.

Согласно этому методу число уравнений К = В – У + 1 (К – число уравнений, В – число ветвей, У – число узлов).

1) Выбираем К независимых контуров и положительных направлений так называемых контурных токов, каждый из которых протекает по всем элементам соответствующего контура. В нашем случае мы имеем 3 независимых контура.

2)

Е2
Для К независимых контуров составляем уравнения по второму закону Кирхгофа, совместное решение которых определяет все контурные токи.

I1
R1
 
R2
R3
I3
I11
I22

 


Е4
Е5
R5
R4
I2

R6
I4
I5
I33

 


Рисунок 3

Получаем:

(R1 + R3 + R4)I11 – R3I22 - R4I33 = –Е4

– R3I11 + (R2 + R3 + R5)I22 – R5I33 = -Е5

-R4I11 - R5I22 + (R4 + R5 + R6)I33 = Е4 + E5

 

13I11 – 8I22 - 4I33= -50

-8I11+ 15I22 - 5I33= -20

-4I11 - 5I22+ 11I33 = 70

 

Решаем данную систему уравнений с помощью определителя 3-го порядка:

 

=

Δ = 556

 

 

Δ1 = -2160

 

 

Δ2 = -1150

 

 

Δ3 = 2230

 

Определяем контурные токи:

I11 = Δ1/ Δ = -2160 /556 = -3,88

I22 = Δ2/ Δ = -1150 / 566 = -2,07

I33 = Δ3/ Δ = 2230 / 566 = 4,01

Находим токи ветвей по первому закону Кирхгофа:

I1 = I11 = -3,88 A;

I2 = I22 = -2,07 A;

I3 = I22 – I11 = -2,07 + 3,88 = 1,81 A;

I4 = I33 – I11 = 4,01 + 3,88 = 7,89 A;

I5 = I33 – I22 = 4,01 + 1,81 = 6,08 A;

I6 = I33 = 4,01 A

 

Изобразим схему электрической цепи и покажем на ней действительные направления токов:

I6
I1
I2
 
R2
R1
R3
Е4
R6
R4
R5
I3
I4
I5
Е5
а
b
c
d
e
f

 

 


Рисунок 4

Делаем проверку по балансу мощности:

 

 

 

 

Е2 взята с отрицательным знаком, потому что является потребителем энергии, а E4 и Е5 – источником.

 

Рассмотрим контур abcdefa. Принимаем φа = 0. Тогда

φа = 0

φb = φа - E4 = 0 - 50 = -50 В

φc = φb + I4R4 = -50+7.89∙4 = -18.44 В

φd = φc - E5 = -18.44 - 20 = -38.44 В

φe = φd – I5R5 = -38.44 – 6.08·5 = -68.84 В

φf = φe – I2R2 = -68.84 – 4.14 = -99.98 В

φa = φf + E6 = -99.98 + 100 = -0,02 ≈ 0

 

На рисунке 5 представлена потенциальная диаграмма для внешнего контура.

 

r, Ом
U, B
 
 
 
-10
a
b
c
d
f
e

 

 


Рисунок 5 – Потенциальная диаграмма для внешнего контура



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: