Связь решения дифференциального уравнения 2-го порядка
С нахождением минимума квадратичного функционала.
Уравнение Эйлера-Лагранжа. Основная лемма вариационного
Исчисления. Интегральное тождество. Естественные краевые условия
Связь решения дифференциального уравнения 2-го порядка
с нахождением минимума квадратичного функционала.
Пусть имеется краевая задача для дифференциального уравнения 2-го порядка:
Покажем, что математически проблема решения краевой задачи для дифференциального уравнения (на примере (1),(2)) эквивалентна задаче вариационного исчисления – о минимуме интеграла, для которого дифференциальное уравнение является уравнением Эйлера-Лагранжа.
Рассмотрим функционал (интеграл)
(3)
Он получит для всякой функции 
, заданной при 
, определенное значение. Таким образом, величина интеграла 
зависит от выбранной кривой, т.е. - функционал.
Поставим задачу: найти кривую , проходящую через заданные точки (а,А) и (
) и дающую минимальное значение интегралу .
Пусть 
есть функция, дающая интегралу минимальное значение.
y Пусть 
- любая непрерывная
со своей производной функция и
(b,B) 
. Тогда 
удовлетворяет граничным условиям (2)
и при достаточно малых 
сколь угодно
(a,A) 
близка к функции . Так как
дает 
, то при 
должно
а b x быть 
. Интеграл 
как функция от при 
имеет минимум. Поэтому
(4)
(3) 
= 
(4¢)
При малых 
дает главную часть приращения интервала при переходе от кривой к кривой 
и это выражение называют вариацией интеграла и обозначают 
:
(5¢) 
, т.е. вариация
должна быть равной нулю, какова бы ни была .
Преобразуем первое слагаемое, интегрируя по частям:
.
(5)
которое должно быть равно нулю при любых . Это возможно только в том случае, если удовлетворяет дифференциальному уравнению
(6)
Итак, мы установили, что функция , дающая минимум интегралу
необходимо должно удовлетворять уравнению (6). Значит, решение краевой задачи (1), (2) можно заменить решением вариационной задачи (3),(2).
Уравнение, которому удовлетворяют экстремальные кривые, называется уравнением Эйлера-Лагранжа для данной вариационной проблемы. В данном случае это уравнение (6) – самосопряженное дифф. уравнение.
Общее решение (6) содержит в своем составе две произвольные постоянные. Через две точки (а,А) и (в,В) можно, вообще говоря, провести одну кривую, удовлетворяющую уравнению (6). Можно показать, что именно эта кривая представляет решение экстремальной проблемы. Покажем это.
Пусть 
- непрерывно дифференцируемая функция
и 
- непрерывны на 
.
- решение полученное, а 
- другая функция, удовлетворяющая
тогда, если 
и .
(7)
Первое слагаемое есть 
. Второе слагаемое с учетом условий 
Значит 
и 
дает интегралу 
абсолютный экстремум 
.
Замечание. Следует отметить, что всякое линейное дифф. уравнение 2-го порядка является уравнением Эйлера-Лагранжа для некоторого интеграла (функционала) типа (3). Действительно, любое уравнение (1¢) 
умножением на 
можно
т.е.
, для которого выполняется (3).
В общем случае для функционала
при 
(8)
Уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид (в классе гладких функций)
, (9)
Действительно, 
Пример. Уравнение изгиба балки 
с граничными условиями 
получается как уравнение Эйлера-Лагранжа из функционала:
.
. 
Mx q
z
Примечания. 1) Пусть имеется функционал и граничные условия:
Соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид:
(10¢) 
- дифференциальное уравнение 2n порядка.
2) 
(11)
или 
(11¢)
3) 
(12)
(12¢)
Пример. функционала
дает
4) Методы решения дифференциальных уравнений путем минимизации функционалов (соответствующих) называют прямыми методами вариацион-ного исчисления. Методы минимизации функционалов путем решения соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа называются непрямымиметодами вариационного исчисления.